Mệnh đề phủ định của mệnh đề nào sau đây đúng?
Mệnh đề phủ định của đáp án A: \(\exists x \in \mathbb{Q},x - 1 \notin \mathbb{Q}\), mệnh đề sai vì \(x,1 \in \mathbb{Q} \Rightarrow x - 1 \in \mathbb{Q}\).
Mệnh đề phủ định của đáp án B: \(\exists x \in \mathbb{R},x - 1 \notin \mathbb{R}\), mệnh đề sai vì \(x,1 \in \mathbb{R} \Rightarrow x - 1 \in \mathbb{R}\).
Mệnh đề phủ định của đáp án C: \(\exists x \in \mathbb{N},x - 1 \notin \mathbb{N}\), mệnh đề đúng vì với \(x = 0 \in \mathbb{N}\) ta có \(x - 1 = - 1 \notin \mathbb{N}\).
Mệnh đề phủ định của đáp án D: \(\exists x \in \mathbb{Z},x - 1 \notin \mathbb{Z}\), mệnh đề sai vì \(x,1 \in \mathbb{Z} \Rightarrow x - 1 \in \mathbb{Z}\).
Hãy sắp xếp các bước dưới đây theo thứ tự đúng để hoàn thiện lời giải bài chứng minh định lí “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 thì \({n^2}\) chia hết cho 25”.
(1) Suy ra \({n^2} = {\left( {5k} \right)^2} = 25{k^2}\) chia hết cho 25.
(2) Lấy \(n \in \mathbb{N}\) tùy ý.
(3) Khi đó, \(n = 5k\) với \(k \in \mathbb{N}\).
Lấy \(n \in \mathbb{N}\) tùy ý. Khi đó, \(n = 5k\) với \(k \in \mathbb{N}\). Suy ra \({n^2} = {\left( {5k} \right)^2} = 25{k^2}\) chia hết cho 25.
Cho các bước chứng minh định lí “Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \({n^2} + 1\) là số tự nhiên lẻ”:
(1) Khi đó, \(n = 2k\), \(k \in \mathbb{N}\).
(2) Suy ra \({n^2} + 1 = {\left( {2k} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 1\)
(3) Cho \(n\) chẵn tùy ý.
(4) Vậy \({n^2} + 1\) là số tự nhiên lẻ.
(5) Vì \(4{k^2}\) chia hết cho 2 và 1 không chia hết cho 2 nên \(4{k^2} + 1\) không chia hết cho 2.
Thứ tự đúng để hoàn thiện bài trên là
Ta chứng minh định lí “Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \({n^2} + 1\) là số tự nhiên lẻ”
Lấy n là một số tự nhiên chẵn tùy ý, khi đó n có dạng \(n = 2k\), \(k \in \mathbb{N}\).
Thay \(n = 2k\) vào \({n^2} + 1\) ta được: \({n^2} + 1 = {\left( {2k} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 1\).
Vì \(4{k^2}\) chia hết cho 2 và 1 không chia hết cho 2 nên \(4{k^2} + 1\) không chia hết cho 2. Do đó, \({n^2} + 1\) không chia hết cho 2.
Vậy \({n^2} + 1\) là số tự nhiên lẻ.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(P\left( n \right):\,\,\forall n \in \mathbb{R},\,\,{n^2} + 3n + 5 > 0\)” là:
Giả sử mênh đề \(Q(n):{n^2} + 3n + 5 > 0\)
\(=>\overline {Q(n)} :{n^2} + 3n + 5 \le 0\)
Mệnh đề “\(P\left( n \right):\,\,\forall n \in \mathbb{R},\,\,{n^2} + 3n + 5 > 0\)” là
“\(P\left( n \right):\,\,\forall n \in \mathbb{R},Q(n)\)”
Phủ định của mệnh đề \(P\left( n \right)\) là " \(\overline {P\left( n \right)} :\,\,\exists n \in \mathbb{R},\,\overline {Q\left( n \right)}\)", tức là \(\overline {P\left( n \right)} :\,\,\exists n \in \mathbb{R},\,\,{n^2} + 3n + 5 \le 0\)
Chọn B
Trong các câu sau, câu nào không là mệnh đề chứa biến ?
Dễ thấy các đáp án B, C, D đều có chứa các biến, đáp án A là mệnh đề xét được tính đúng sai ngay nên nó không là mệnh đề chứa biến.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án A sai vì \(\exists x = - 1 \in R:5x < 4x\)
Đáp án B sai vì \(\exists x = \pm 2 \in R:{x^2} - 4 = 0.\)
Đáp án C sai vì \({x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \notin N \Rightarrow \forall x \in N:{x^2} - 3 \ne 0.\)
Tương đương với \(''\overline \exists x \in N:{x^2} - 3 = 0''\)
Đáp ánh D đúng vì \(\exists x = 0 \in R:{x^2} = 0.\)
Mệnh đề \(''\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} = 2''\) khẳng định rằng:
Mệnh đề \(''\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} = 2''\) đọc là “Có ít nhất một số thực \(x\) mà bình phương của nó bằng \(2\)”.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
Đáp án A: sai vì \(2\) là một số nguyên tố.
Đáp án B: sai vì \(x = 0\) thì \( - {x^2} = 0\).
Đáp án C: Với \(n = 4 \in \mathbb{N} \Rightarrow n\left( {n + 11} \right) + 6 = 4\left( {4 + 11} \right) + 6 = 66 \vdots 11\).
Đáp án D: sai vì phương trình có nghiệm \(x = \pm \sqrt 2 \) là các số vô tỉ.
Mệnh đề chứa biến : “${x^3}-3{x^2} + 2x = 0$ ” đúng với một trong những giá trị nào của $x$ dưới đây?
Ta có:
${x^3}-3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.$
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của \(x\) để mệnh đề \(P:''2x - 1 \ge 0''\) là mệnh đề sai?
Ta có: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}\).
Do đó với \(x \ge \dfrac{1}{2}\) thì mệnh đề đúng, nên để mệnh đề sai thì \(x < \dfrac{1}{2}.\)
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Đáp án C sai vì: Với \(x = - 1 \in \mathbb{R},\;y = 0 \in \mathbb{R}\) thì \(x + {y^2} = - 1 + 0 < 0.\)
Ngoài ra các đáp án A, B, D đều đúng.
Cho \(x\) là số thực, mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án A đúng vì với \(x\in\mathbb{R}\) ta có: \( {x^2} > 5 \Rightarrow \left| x \right| > \sqrt 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \sqrt 5 \\x < - \sqrt 5 \end{array} \right.\).
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án B sai vì \({x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \) là số vô tỉ.
Đáp án C sai với \(x = 3 \Rightarrow {2^3} + 1 = 9\) là hợp số.
Đáp án D sai với \(x = 0 \Rightarrow {2^0} = 1 < 0 + 2 = 2.\)
Đáp án A đúng, ta chứng minh như sau:
Ta có: \({x^3} - x = x\left( {{x^2} - 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
Với \(x \in {\mathbb{N}^*}\) thì ba số \(x - 1,x,x + 1\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số đó chắc chắn có một số chia hết cho \(3\) hay tích của chúng chia hết cho \(3\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
*) Xét đáp án A: Với \(x = 1 \Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} = \left( {1 - 1} \right)\) nên “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} \ne \left( {x - 1} \right)\)” là mệnh đề sai.
*) Xét đáp án B: Với \(x = - 4\) ta có: \( - 4 < 3 \Leftrightarrow \left| { - 3} \right| < 3\) (Vô lý)
\( \Rightarrow \) “\(\forall x \in \mathbb{R},\,\,\left| x \right| < 3 \Leftrightarrow x < 3\)” là mệnh đề sai.
*) Xét đáp án C:
+) Với \(n = 2k\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) ta có: \({n^2} + 1 = {\left( {2k} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 1\) không chia hết cho \(4\).
+) Với \(n = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) ta có: \({n^2} + 1 = {\left( {2k + 1} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 4k + 2\) không chia hết cho \(4\).
\( \Rightarrow \) "\(\exists n \in \mathbb{N},\,\,{n^2} + 1\) chia hết cho \(4\)” là mệnh đề sai.
*) Xét đáp án D:
Với \(n = 3k\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) ta có: \({n^2} + 1 = {\left( {3k} \right)^2} + 1 = 9{k^2} + 1\) không chia hết cho \(3\).
Với \(n = 3k + 1\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) ta có: \({n^2} + 1 = {\left( {3k + 1} \right)^2} + 1 = 9{k^2} + 6k + 2\) không chia hết cho \(3\).
Với \(n = 3k + 2\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) ta có: \({n^2} + 1 = {\left( {3k + 2} \right)^2} + 1 = 9{k^2} + 12k + 5\) không chia hết cho \(3\).
\( \Rightarrow \) “\(\forall n \in \mathbb{N},\,\,{n^2} + 1\) không chia hết cho \(3\)” là một mệnh đề đúng.
Mệnh đề \(P\left( x \right):''\forall x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - x + 7 < 0''\). Phủ định của mệnh đề $P$ là
Phủ định của mệnh đề $P$ là \(\overline {P\left( x \right)} :''\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}{x^2} - x + 7 \ge 0''\).
Cho mệnh đề chứa biến \(P\left( x \right):\,\,x + 14 \le {x^2}\) với \(x\) là số thực. Mệnh đề nào sau đây đúng?
+) \(P\left( 0 \right):0 + 14 \le {0^2}\) (vô lý) \( \Rightarrow P\left( 0 \right)\) là mệnh đề sai.
+) \(P\left( 2 \right):1 + 14 \le {2^2}\) (vô lý) \( \Rightarrow P\left( 2 \right)\) là mệnh đề sai.
+) \(P\left( 5 \right):5 + 14 \le {5^2}\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow P\left( 5 \right)\) là mệnh đề đúng.
+) \(P\left( 4 \right):4 + 14 \le {4^2}\) (vô lý) \( \Rightarrow P\left( 4 \right)\) là mệnh đề sai.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P\left( x \right):''{x^2} + 3x + 1 > 0\) với mọi \(x''\) là
Phủ định của mệnh đề \(P\left( x \right)\) là \(\overline {P\left( x \right)} \): “Tồn tại $x$ sao cho \({x^2} + 3x + 1 \le 0\)”.
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P\left( x \right):''\exists x \in \mathbb{R}:{\rm{ }}{x^2} + 2x + 5\) là số nguyên tố\(''\) là
Phủ định của mệnh đề \(P\left( x \right)\) là \(\overline {P\left( x \right)} :''\forall x \in \mathbb{R}:{\rm{ }}{x^2} + 2x + 5\) là hợp số\(''\).
Phủ định của mệnh đề \(P\left( x \right):''\exists x \in \mathbb{R},{\rm{ }}5x - 3{x^2} = 1''\) là
Phủ định của mệnh đề \(P\left( x \right)\) là \(\overline {P\left( x \right)} :''\forall x \in \mathbb{R},5x - 3{x^2} \ne 1''\).
Cho các phát biểu sau, hỏi có bao nhiêu phát biểu là mệnh đề ?
1) Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.
2) \(\forall x \in R,\;5x - {x^2} > 1\).
3) $6x + 1 > 3$.
4) Phương trình ${x^2} + 3x-1 = 0$ có nghiệm.
Ta thấy câu 1), 2) và 4) là các mệnh đề vì ta có thể xét được tính đúng sai của chúng.
Câu 3) không khải mệnh đề vì ta chưa xét được tính đúng sai của nó, chỉ khi cho $x$ một giá trị nào đó thì ta mới nhận được một mệnh đề.
Vậy có $3$ mệnh đề.
