Cho hàm số \(y = 2x + m + 1\). Tìm giá trị thực của \(m\) để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(3\)\( \Rightarrow A\left( {3;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \( \Rightarrow 0 = 2.3 + m + 1 \Leftrightarrow m = - 7\).
Cho hàm số \(y = 2x + m + 1\). Tìm giá trị thực của \(m\) để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \( - 2\)\( \Rightarrow B\left( {0; - 2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \( \Rightarrow - 2 = 2.0 + m + 1 \Leftrightarrow m = - 3\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(y = \dfrac{{1 - 3x}}{4}\) và \(y = - \left( {\dfrac{x}{3} + 1} \right)\) là:
Phương trình hoành độ của hai đường thẳng là \(\dfrac{{1 - 3x}}{4} = - \left( {\dfrac{x}{3} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow - \dfrac{5}{{12}}x + \dfrac{5}{4} = 0 \Leftrightarrow x = 3\)\( \Rightarrow y = - 2\)
Có bao nhiêu giá trị âm của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m - 2} \right)x + 5\) có đồ thị hàm số cắt 2 trục Ox, Oy tại M, N sao cho tam giác OMN cân.
Đồ thị cắt 2 trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại M, N. Nên \(M\left( {\dfrac{5}{{2 - m}};0} \right);N\left( {0;5} \right)\).
Tam giác OMN cân
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow OM = ON \Leftrightarrow \dfrac{5}{{\left| {m - 2} \right|}} = 5 \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 1\\m - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Cho hai đường thẳng \(d:y = 2mx + 2\) và \(d':y = \left( {6 - m} \right)x + 2\). Gọi A là giao của d và trục hoành, B là giao của d’ và trục tung. Tìm m để \(\Delta OAB\) cân tại O.
Điểm \(A\) là giao của \(d\) và trục hoành nên tọa độ \(A\) là \(A\left( { - \dfrac{1}{m};0} \right)\).
Điểm \(B\) là giao của \(d'\) và trục tung nên tọa độ \(B\) là \(B\left( {0;2} \right)\).
\(\Delta OAB\) cân tại O \( \Leftrightarrow \left| { - \dfrac{1}{m}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| m \right| = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\m = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Cho 2 đường thẳng \(d:y = \left( {3 - m} \right)x + 2m + 1\) và \(d':y = mx + 5\). Tìm m để \(d\)và \(d'\) cắt nhau tại điểm có hoành độ -2.
\(d\)và \(d'\) cắt nhau tại điểm có hoành độ -2
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 - m} \right).\left( { - 2} \right) + 2m + 1 = - 2m + 5\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{3}\end{array}\)
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \left( {2m + 1} \right)x + m - 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến \( \Leftrightarrow a > 0 \Rightarrow 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - \dfrac{1}{2}.\)
Tìm \(m\) để hàm số \(y = m\left( {x + 2} \right) - x\left( {2m + 1} \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
Viết lại \(y = m\left( {x + 2} \right) - x\left( {2m + 1} \right) = \left( { - 1 - m} \right)x + 2m\).
Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) nghịch biến \( \Leftrightarrow a < 0 \Rightarrow - 1 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 1.\)
Tìm \(m\) để hàm số \(y = - \left( {{m^2} + 1} \right)x + m - 4\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)
Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) nghịch biến \( \Leftrightarrow a < 0 \Rightarrow - \left( {{m^2} + 1} \right) < 0\) (luôn đúng với mọi \(m\))
Tìm \(a\) và \(b\) để đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua các điểm \(A\left( { - 2;1} \right),\;B\left( {1; - 2} \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(A\left( { - 2;1} \right),\;B\left( {1; - 2} \right)\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}1 = a.\left( { - 2} \right) + b\\ - 2 = a.1 + b\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\end{array} \right.\).
Biết rằng đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M\left( { - 1;3} \right)\) và \(N\left( {1;2} \right)\). Tính tổng \(S = a + b\).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(M\left( { - 1;3} \right),\;N\left( {1;2} \right)\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 3\\a + b = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\;\; \Rightarrow \;S = a + b = 2\).
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để ba đường thẳng \(y = 2x\), \(y = - x - 3\) và \(y = mx + 5\) phân biệt và đồng qui.
Tọa độ giao điểm \(A\) của hai đường thẳng \(y = 2x\) và \(y = - x - 3\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x\\y = - x - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A\left( { - 1; - 2} \right)\)
Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng \(y = mx + 5\) đi qua \(A\)
\( \Rightarrow - 2 = - 1.m + 5 \Rightarrow m = 7\).
Thử lại, với \(m = 7\) thì ba đường thẳng \(y = 2x\); \(y = - x - 3\) ; \(y = 7x + 5\) phân biệt và đồng quy.
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để ba đường thẳng \(y = - 5\left( {x + 1} \right)\), \(y = mx + 3\) và \(y = 3x + m\) phân biệt và đồng qui.
Để ba đường thẳng phân biệt khi \(m \ne 3\) và \(m \ne - 5\).
Tọa độ giao điểm \(B\) của hai đường thẳng \(y = mx + 3\) và \(y = 3x + m\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = mx + 3\\y = 3x + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3 + m\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {1;3 + m} \right)\)
Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng \(y = - 5\left( {x + 1} \right)\) đi qua \(B\left( {1;3 + m} \right)\)
\( \Rightarrow 3 + m = - 5\left( {1 + 1} \right) \Leftrightarrow m = - 13\).
Tìm phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\). Biết đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {2;3} \right)\) và tạo với hai tia \(Ox,\;Oy\) một tam giác vuông cân.
Đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua điểm \(I\left( {2;3} \right) \Rightarrow 3 = 2a + b\,\,\left( * \right)\)
Ta có \(d \cap Ox = A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\); \(d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)\).
Suy ra \(OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| = - \dfrac{b}{a}\) và \(OB = \left| b \right| = b\) (do \(A,{\rm{ }}B\) thuộc hai tia \(Ox,\;Oy\)).
Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\). Do đó, \(\Delta OAB\) vuông cân khi \(OA = OB\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{b}{a} = b \Leftrightarrow b + \dfrac{b}{a} = 0 \Leftrightarrow b\left( {1 + \dfrac{1}{a}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow b.\dfrac{{a + 1}}{a} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = - 1\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(b = 0 \Rightarrow A \equiv B \equiv O\left( {0;0} \right)\): không thỏa mãn.
Với \(a = - 1\), kết hợp với \(\left( * \right)\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3 = 2a + b\\a = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 5\end{array} \right.\).
Vậy đường thẳng cần tìm là \(d:y = - x + 5\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2017;2017} \right]\) để hàm số \(y = \left( {m - 2} \right)x + 2m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến \( \Leftrightarrow a > 0 \Rightarrow m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left[ { - 2017;2017} \right]\) \( \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;...;2017} \right\}.\)
Vậy có \(2017 - 3 + 1 = 2015\) giá trị nguyên của \(m\) cần tìm.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2017;2017} \right]\) để hàm số \(y = \left( {{m^2} - 4} \right)x + 2m\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Hàm số bậc nhất \(y = ax + b\) đồng biến \( \Leftrightarrow a > 0 \Rightarrow {m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left[ { - 2017;2017} \right]\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 2017; - 2016; - 2015;...; - 3} \right\} \cup \left\{ {3;4;5;...;2017} \right\}.\)
Vậy có \(2.\left( {2017 - 3 + 1} \right) = 2.2015 = 4030\) giá trị nguyên của \(m\) cần tìm.
Tìm giá trị thực của \(m\) để hai đường thẳng \(d:y = mx - 3\) và \(\Delta :y + x = m\) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung.
Gọi \(A\left( {0;a} \right)\) là giao điểm hai đường thẳng nằm trên trục tung.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \in d\\A \in \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0.m - 3\\a + 0 = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\m = - 3\end{array} \right.\).
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để hai đường thẳng \(d:y = mx - 3\) và \(\Delta :y + x = m\) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
Gọi \(B\left( {b;0} \right)\) là giao điểm hai đường thẳng nằm trên trục hoành.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \in d\\B \in \Delta \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = m.b - 3\\0 + b = m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} = 3\\b = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = m = \sqrt 3 \\b = m = - \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Cho điểm \(M\left( {m - 1;\,\,2m + 1} \right)\), điểm \(M\) luôn nằm trên đường thẳng cố đinh nào dưới đây ?
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = m - 1\\{y_{_M}} = 2m + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = {x_M} + 1\\m = \dfrac{{{y_M} - 1}}{2}\end{array} \right.\) suy ra \({x_M} + 1 = \dfrac{{{y_M} - 1}}{2} \Rightarrow 2{x_M} - {y_M} + 3 = 0\).
Suy ra quỹ tích điểm \(M\) là đường thẳng \(2x - y + 3 = 0\).
Cho hàm số bậc nhất \(y = ax + b\). Tìm \(a\) và \(b\), biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( { - 1;1} \right)\) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là \(5\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow 1 = a.\left( { - 1} \right) + b.\) \(\left( 1 \right)\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là \(5\) \( \Rightarrow 0 = a.5 + b\). \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 = a.\left( { - 1} \right) + b\\0 = a.5 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b = 1\\5a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{6}\\b = \dfrac{5}{6}\end{array} \right.\).
