Một số phương trình bậc ba, bậc bốn quy về bậc nhất, bậc hai

TXĐ: $D = \mathbb{R}.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {{x^2} + 6x + 10} \right)^2} + m = 10{\left( {x + 3} \right)^2}\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 6x + 9 + 1} \right)^2} - 10{\left( {x + 3} \right)^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + 1} \right]^2} - 10{\left( {x + 3} \right)^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^4} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 1 - 10{\left( {x + 3} \right)^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^4} - 8{\left( {x + 3} \right)^2} + m + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt ${\left( {x + 3} \right)^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).$

$\Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 8t + m + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\Rightarrow \left( * \right)$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm  t dương phân biệt

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - m - 1 > 0\\8 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15 - m > 0\\m >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 15\\m >  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m < 15\end{array}$

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,.....;\,\,14} \right\}.$

Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất khi ${x^2} - 3x + m = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $x = 1$.

TH1: Phương trình ${x^2} - 3x + m = 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \Delta  = {3^2} - 4m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{4}$.

TH2: Phương trình ${x^2} - 3x + m = 0$ có nghiệm duy nhất $x = 1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\{1^2} - 3.1 + m = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m = 0\\ - 2 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{9}{4}\\m = 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow m \in \emptyset$.

Vậy $m > \dfrac{9}{4}$.

Đặt $t = {x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2$. Ta được phương trình ${t^2} + 2\left( {3 - m} \right)t + {m^2} - 6m = 0\;\;\left( 1 \right)$,

${\Delta ^/} = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} + 6m = 9$ suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có hai nghiệm là ${t_1} = m - 6$ và ${t_2} = m$.

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ phải có cả hai nghiệm nhỏ hơn $2$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 6 < 2\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 8\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2$.

Đặt $t = {x^2} \ge 0$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành ${t^2} + 2t + a = 0$ $\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng $3$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 2 \right)$ có một nghiệm bằng $0$ và nghiệm còn lại dương.

$\left( 2 \right)$ có nghiệm $t = 0$ $\Leftrightarrow {0^2} + 2.0 + a = 0 \Leftrightarrow a = 0$.

Khi đó phương trình trở thành ${t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  - 2 < 0\end{array} \right.$ nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy không có giá trị nào của $a$ thỏa mãn bài toán.

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành $a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có $4$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt dương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$.

Đặt ${x^2} = t \ge 0$ ta được ${t^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)t + 2\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = 0$

Ta có $\Delta  = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - 4.2.\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right)$ $= 4 - 2\sqrt 3  - 8\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) =  - 7\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) < 0$

Suy ra phương trình ẩn $t$ vô nghiệm hay phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành $- {t^2} - 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)t + \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 0$ $\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có $a.c = \left( { - 1} \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) < 0$

Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$ nghiệm trái dấu ${t_1} < 0 < {t_2}$

Suy ra phương trình đầu có $2$ nghiệm phân biệt ${x_{1,2}} =  \pm \sqrt {{t_2}}  \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 0$.

Ta có

$- {x^4} + \left( {\sqrt 3  - 2} \right){x^2} = 0$ $\Leftrightarrow {x^2}\left( { - {x^2} + \sqrt 3  - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} = \sqrt 3  - 2\;\;\left( {VN} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow {x^2} = 0$ $\Leftrightarrow x = 0$.

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành $2{t^2} - 2019t - 6 = 0$$\left( 1 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có $a.c = 2.\left( { - 6} \right) < 0$

Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm trái dấu

Suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

Ta có: $\Delta  = {\left( {4m - 3} \right)^2} - 4.2.\left( {1 - 2m} \right) = {\left( {4m - 1} \right)^2}$

$2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 1 - 2m = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = \dfrac{1}{2}{\rm{         }}\left( 1 \right)\\{x^2} + 2x = 2m - 1{\rm{  }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - \dfrac{1}{2} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \notin \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\\x = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} \in \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\end{array} \right.$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 2m$. Phương trình đã cho có đúng $1$ nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - 3;0} \right]$ khi và chỉ khi phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm nhưng không thuộc đoạn $\left[ { - 3;0} \right]$ hoặc vô nghiệm.

Xét $\left( 2 \right)$, nếu $m < 0$ thì $\left( 2 \right)$ vô nghiệm (thỏa mãn yêu cầu).

+) Nếu $m = 0$ thì $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất $x =  - 1 \in \left[ { - 3;0} \right]$ (không thỏa yêu cầu).

+) Nếu $m > 0$ thì $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} =  - 1 - 2\sqrt m  <  - 1 + 2\sqrt m  = {x_2}$ nên $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm không thuộc $\left[ { - 3;0} \right]$ nếu $\left\{ \begin{array}{l} - 1 - \sqrt {2m}  <  - 3\\ - 1 + \sqrt {2m}  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2$

Vậy $\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.$.

Mà $m \in \left( { - 2019;2019} \right)$ và $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...; - 1;3;4;...;2018} \right\}$.

Số các giá trị của $m$ thỏa mãn bài toán là $2018 + 2016 = 4034$.

$\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^4} + 5{x^2} + 7\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0$

Đặt ${x^2} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)$

$\left( {2 - \sqrt 5 } \right){t^2} + 5t + 7\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0$

Nhận xét $ac = \left( {2 - \sqrt 5 } \right)\left( {7 + 7\sqrt 2 } \right) < 0 \Rightarrow$phương trình có 2 nghiệm $t$ trái dấu nên chỉ có duy nhất 1 nghiệm $t > 0 \Rightarrow$ có 2 nghiệm $x$.

Xét phương trình: ${x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Đặt ${x^2} = t\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)$

$\Rightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: ${\Delta _t} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.m$$= {m^2} + 2m + 1 - 4m$ $= {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}$

Phương trình $\left( * \right)$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _t} = {\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m >  - 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 1\end{array} \right.$.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} + 3{x^2} + \left( {4{m^2} - 12m + 11} \right)x + {\left( {2m - 3} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \,{x^3} + 3{x^2} + \left( {4{m^2} - 12m + 11} \right)x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} + 2{x^2} + 2x + \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right)x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x + 1} \right) + \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4{m^2} - 12m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\g\left( x \right) = {x^2} + 2x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow g\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\ne  - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4{m^2} + 12m - 9 > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} + 2\left( { - 1} \right) + 4{m^2} - 12m + 9 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 12m + 8 < 0\\4{m^2} - 12m + 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\m \ne 2\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2.\end{array}$

Đặt ${x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).$ Khi đó ta có phương trình:

$\begin{array}{l}{t^2} - 5t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 1 = 0\\t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 6\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 6 \\x =  - \sqrt 6 \end{array} \right..\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là:$S = \left\{ { - \sqrt 6 ;\,\,\sqrt 6 } \right\}.$

Phương trình $\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 3x + m = 0\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác $1$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m > 0\\1 - 3 + m \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{9}{4}\\m \ne 2\end{array} \right.$.

Đặt $t = {x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \geqslant 2$ ta được phương trình ${t^2} + 2\left( {3 - m} \right)t + {m^2} - 6m = 0\;\;\left( 1 \right)$

${\Delta '} = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} + 6m = 9$ suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có hai nghiệm là ${t_1} = m - 6$ và ${t_2} = m$.

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm lớn hơn hoặc bằng $2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 6 \ge 2\\m \ge 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m \ge 2$

Đặt $t = {x^2}\ge 0$

Phương trình$\left( 1 \right)$ thành ${t^2} + 2t + a = 0$$\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng $4$ nghiệm

$\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$ nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 4a > 0\\ - 2 > 0\;\;\;\;\;\left( {vl} \right)\\a > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow a \notin \emptyset$.

Đặt $t = {x^3}$ thì phương trình ${x^6} + 2003{x^3} - 2005 = 0$ trở thành ${t^2} + 2003t - 2005 = 0$

Vì $1.\left( { - 2005} \right) < 0$ suy ra phương trình ẩn $t$ có $2$ nghiệm trái dấu

Suy ra có phương trình đã cho có một nghiệm âm.

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành $a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm hoặc phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm cùng âm

$\Leftrightarrow \Delta  < 0 \cup \left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$.

Đặt ${x^2} = t \ge 0$ ta được ${t^2} + \left( {\sqrt {65}  - \sqrt 3 } \right)t + 2\left( {8 + \sqrt {63} } \right) = 0$

Ta có $\Delta  = {\left( {\sqrt {65}  - \sqrt 3 } \right)^2} - 4.2.\left( {8 + \sqrt {63} } \right) = 4 - 2\sqrt {195}  - 8\sqrt {63}  < 0$

Suy ra phương trình ẩn $t$ vô nghiệm hay phương trình đã cho cũng vô nghiệm.