Cho phương trình: \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2} + 2\left( {3 - m} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {m^2} - 6m = 0\). Tìm \(m\) để phương trình vô nghiệm.
Trả lời bởi giáo viên
Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\). Ta được phương trình \({t^2} + 2\left( {3 - m} \right)t + {m^2} - 6m = 0\;\;\left( 1 \right)\),
\({\Delta ^/} = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} + 6m = 9\) suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm là \({t_1} = m - 6\) và \({t_2} = m\).
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có cả hai nghiệm nhỏ hơn \(2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 6 < 2\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 8\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2\).
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3\;\;\left( {t \ge 2} \right)\) thay vào phương trình.
- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn \(t\) vô nghiệm hoặc có cả hai nghiệm đề nhỏ hơn \(2\).