Khẳng định nào sau đây là sai?
Vì \({x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
Xét các đáp án:
- Đáp án A.
Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\).
Khi đó \(x + \sqrt {x - 1} = 1 + \sqrt {x - 1} \Leftrightarrow x = 1\left( {TM} \right)\).
Do đó phương trình có nghiệm \(x = 1\) và hai phương trình \(x + \sqrt {x - 1} = 1 + \sqrt {x - 1} \) và \(x = 1\) tương đương.
- Đáp án B. Ta có \(x + \sqrt {x - 2{\rm{ }}} = 1 + \sqrt {x - 2} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset \)
Do đó, \(x + \sqrt {x - 2{\rm{ }}} = 1 + \sqrt {x - 2} \) và \(x = 1\) không phải là cặp phương trình tương đương.
- Đáp án C. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \left( {x + 2} \right) = \sqrt x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\\x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1\end{array} \right.\).
Do đó, \(\sqrt x \left( {x + 2} \right) = \sqrt x \) và \(x + 2 = 1\) không phải là cặp phương trình tương đương.
- Đáp án D. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\\x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1\end{array} \right.\).
Do đó, \(x\left( {x + 2} \right) = x\) và \(x + 2 = 1\) không phải là cặp phương trình tương đương.
Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:
Xét các đáp án:
- Đáp án A. Ta có \({\rm{2}}x + \sqrt {x - 3} = 1 + \sqrt {x - 3} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset \).
Lại có \(2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).
Do đó, \({\rm{2}}x + \sqrt {x - 3} = 1 + \sqrt {x - 3} \) và \(2x = 1\) không phải là cặp phương trình tương đương.
- Đáp án B. Ta có \(\dfrac{{x\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)
Do đó, \(\dfrac{{x\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = 0\) và \(x = 0\) là cặp phương trình tương đương.
- Đáp án C. Ta có \(\sqrt {x + 1} = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x + 1 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\)
Lại có \(x + 1 = {\left( {2 - x} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 3 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2}\)
Do đó, \(\sqrt {x + 1} = 2 - x\) và \(x + 1 = {\left( {2 - x} \right)^2}\) không phải là cặp phương trình tương đương.
- Đáp án D. Ta có \(x + \sqrt {x - 2} = 1 + \sqrt {x - 2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset \).
Do đó, \(x + \sqrt {x - 2} = 1 + \sqrt {x - 2} \) và \(x = 1\) không phải là cặp phương trình tương đương.
Phương trình \(x + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có bao nhiêu nghiệm?
Với điều kiện trên phương trình tương đương \({x^2} - x + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 2\).
Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)
Phương trình \(\sqrt {{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2} + x = \sqrt {2 - x} \) có bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
Thay \(x = 1\) và \(x = 2\) vào phương trình thấy chỉ có \(x = 1\) thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 4} + {x^3} = 8\) có bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện: \( - {x^2} + 4x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow - {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Thử lại ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Phương trình \(\sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}\left( {5 - 3x} \right)} + x = \sqrt {3x - 5} \) có bao nhiêu nghiệm?
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - x} \right)^2}\left( {5 - 3x} \right) \ge 0\\3x - 5 \ge 0\end{array} \right.\). \(\left( * \right)\)
Ta thấy \(x = 3\) thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\).
Nếu \(x \ne 3\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - 3x \ge 0}\\{3x - 5 \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \dfrac{5}{3}}\\{x \ge \dfrac{5}{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}} \right.\)
Do đó điều kiện xác định của phương trình là \(x = 3\) hoặc \(x = \dfrac{5}{3}\).
Thay \(x = 3\) và \(x = \dfrac{5}{3}\) vào phương trình thấy cả hai giá trị này đều không thỏa mãn phương trình.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\) là :
ĐK: \(2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{2}\).
Điều kiện xác định của phương trình \(x + \sqrt {2x + 1} = \sqrt {1 - x} \) là:
Điều kiện xác định của phương trình \(x + \sqrt {2x + 1} = \sqrt {1 - x} \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le x \le 1.\)
Điều kiện xác định của phương trình \(x + \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4} }} = \dfrac{{\sqrt {3 - 2x} }}{x}\) là
Phương trình xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4 > 0\\3 - 2x \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \le \dfrac{3}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.\).
Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{1}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {x + 3} \) là:
Điều kiện : \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ne 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 2\\x \ge - 3\end{array} \right.\)
Vậy \(x \ge - 3\) và \(x \ne \pm 2\).
Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt {{x^2} - 1} = 0\) là
Điều kiện : \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\).
Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình \({x^2} - 3x = 0\)?
Ta có \({x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\).
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là \({S_0} = \left\{ {0;3} \right\}\).
Xét các đáp án:
- Đáp án A. Ta có \({x^2} + \sqrt {x - 2} = 3x + \sqrt {x - 2} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\)
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_1} = \left\{ 3 \right\} \ne {S_0}\).
- Đáp án B. Ta có \({x^2} + \dfrac{1}{{x - 3}} = 3x + \dfrac{1}{{x - 3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_2} = \left\{ 0 \right\} \ne {S_0}\).
- Đáp án C. Ta có \({x^2}\sqrt {x - 3} = 3x\sqrt {x - 3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x = 0\\\sqrt {x - 3} = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\).
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_3} = \left\{ 3 \right\} \ne {S_0}\).
- Đáp án D. Ta có \({x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {x^2} = 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\).
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_4} = \left\{ {0;3} \right\} = {S_0}\).
Cho phương trình \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\). Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho?
Ta có \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\) (vì \({x^2} + 1 > 0,\;\forall x \in \mathbb{R}\))
Điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4} = \dfrac{1}{{x - 2}}\) là
Phương trình xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \)
Ta có: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\x + 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \le - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le - 2\)
Do đó \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le -2\end{array} \right.\)
Kết hợp thêm điều kiện \(x \ne 2\) ta được điều kiện xác định của phương trình là \(x > 2\) hoặc \(x \le - 2\)
Điều kiện xác định của phương trình \(x + 2 - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {4 - 3x} }}{{x + 1}}\) là
Phương trình xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\4 - 3x \ge 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x \le \dfrac{4}{3}\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < x \le \dfrac{4}{3}\\x \ne - 1\end{array} \right.\).
Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{{\sqrt {2x + 1} }}{{{x^2} + 3x}} = 0\) là
Phương trình xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\{x^2} + 3x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\\x \ne - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.\)
Hai phương trình được gọi là tương đương khi
Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình \({x^2} - 4 = 0\)?
Ta có \({x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là \({S_0} = \left\{ { - 2;2} \right\}\)
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\left( {2 + x} \right)\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\ - {x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_1} = \left\{ { - 2;1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right\} \ne {S_0}\)
Đáp án B. Ta có \(\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\\x = - 2\end{array} \right.\)
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_2} = \left\{ { - 2; - 1;2} \right\} \ne {S_0}\)
Đáp án C. Ta có \(\sqrt {{x^2} - 3} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_3} = \left\{ { - 2;2} \right\} = {S_0}\)
Đáp án D. Ta có \({x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_4} = \left\{ 2 \right\} \ne {S_0}\)
Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình $x + \dfrac{1}{x} = 1$?
Ta có $x + \dfrac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} - x + 1 = 0\end{array} \right.$ (vô nghiệm).
Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là \({S_0} = \emptyset \)
Xét các đáp án:
Đáp án A. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + \sqrt x \ge 0\)
Do đó, phương trình ${x^2} + \sqrt x = - 1$ vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình là \({S_1} = \emptyset = {S_0}\)
Đáp án B. Ta có $\left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| = 0\\\sqrt {2x + 1} = 0\end{array} \right.$ (vô nghiệm).
Do đó, phương trình $\left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1} = 0$ vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình là \({S_2} = \emptyset = {S_0}\)
Đáp án C. Ta có
\(x\sqrt {x - 5} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt {x - 5} = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)
Do đó, phương trình $x\sqrt {x - 5} = 0$ có tập nghiệm là \({S_3} = \left\{ 5 \right\} \ne {S_0}\).
Đáp án D. Ta có $\sqrt {6x - 1} \geqslant 0 \Rightarrow 7 + \sqrt {6x - 1} \geqslant 7 > - 18$
Do đó, phương trình $7 + \sqrt {6x - 1} = - 18$ vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình là \({S_4} = \emptyset = {S_0}\).
