Đại cương về phương trình

Vì ${x^2} = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1$.

Xét các đáp án:

- Đáp án A.

Điều kiện: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$.

Khi đó $x + \sqrt {x - 1}  = 1 + \sqrt {x - 1}  \Leftrightarrow x = 1\left( {TM} \right)$.

Do đó phương trình có nghiệm $x = 1$ và hai phương trình $x + \sqrt {x - 1}  = 1 + \sqrt {x - 1}$ và $x = 1$ tương đương.

- Đáp án B. Ta có $x + \sqrt {x - 2{\rm{ }}}  = 1 + \sqrt {x - 2}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset$

Do đó, $x + \sqrt {x - 2{\rm{ }}}  = 1 + \sqrt {x - 2}$ và $x = 1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

- Đáp án C. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \left( {x + 2} \right) = \sqrt x  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\\x + 2 = 1 \Leftrightarrow x =  - 1\end{array} \right.$.

Do đó, $\sqrt x \left( {x + 2} \right) = \sqrt x$ và $x + 2 = 1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

- Đáp án D. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\\x + 2 = 1 \Leftrightarrow x =  - 1\end{array} \right.$.

Do đó, $x\left( {x + 2} \right) = x$ và $x + 2 = 1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

Xét các đáp án:

- Đáp án A. Ta có ${\rm{2}}x + \sqrt {x - 3}  = 1 + \sqrt {x - 3}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset$.

Lại có $2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$.

Do đó, ${\rm{2}}x + \sqrt {x - 3}  = 1 + \sqrt {x - 3}$ và $2x = 1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

- Đáp án B. Ta có $\dfrac{{x\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\x = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$

Do đó, $\dfrac{{x\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = 0$ và $x = 0$ là cặp phương trình tương đương.

- Đáp án C. Ta có $\sqrt {x + 1}  = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x + 1 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{5 - \sqrt {13} }}{2}$

Lại có $x + 1 = {\left( {2 - x} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 3 = 0$$\Leftrightarrow x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2}$

Do đó, $\sqrt {x + 1}  = 2 - x$ và $x + 1 = {\left( {2 - x} \right)^2}$ không phải là cặp phương trình tương đương.

- Đáp án D. Ta có $x + \sqrt {x - 2}  = 1 + \sqrt {x - 2}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow x \in \emptyset$.

Do đó, $x + \sqrt {x - 2}  = 1 + \sqrt {x - 2}$ và $x = 1$ không phải là cặp phương trình tương đương.

Với điều kiện trên phương trình tương đương ${x^2} - x + 1 = 2x - 1 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$.

Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2.$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Thay $x = 1$ và $x = 2$ vào phương trình thấy chỉ có $x = 1$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Điều kiện: $- {x^2} + 4x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow  - {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Thử lại ta thấy $x = 2$ thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - x} \right)^2}\left( {5 - 3x} \right) \ge 0\\3x - 5 \ge 0\end{array} \right.$. $\left( * \right)$

Ta thấy $x = 3$ thỏa mãn điều kiện $\left( * \right)$.

Nếu $x \ne 3$ thì $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - 3x \ge 0}\\{3x - 5 \ge 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \dfrac{5}{3}}\\{x \ge \dfrac{5}{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}} \right.$

Do đó điều kiện xác định của phương trình là $x = 3$ hoặc $x = \dfrac{5}{3}$.

Thay $x = 3$ và $x = \dfrac{5}{3}$ vào phương trình thấy cả hai giá trị này đều không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

ĐK: $2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{2}$.

Điều kiện xác định của phương trình $x + \sqrt {2x + 1}  = \sqrt {1 - x}$ là: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le x \le 1.$

Phương trình xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}2x + 4 > 0\\3 - 2x \ge 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\x \le \dfrac{3}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.$.

Điều kiện : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ne 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  \pm 2\\x \ge  - 3\end{array} \right.$

Vậy $x \ge  - 3$ và $x \ne  \pm 2$.

Điều kiện : $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$.

Ta có ${x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$.

      Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là ${S_0} = \left\{ {0;3} \right\}$.

Xét các đáp án:

- Đáp án A. Ta có ${x^2} + \sqrt {x - 2}  = 3x + \sqrt {x - 2}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3$

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_1} = \left\{ 3 \right\} \ne {S_0}$.

- Đáp án B. Ta có ${x^2} + \dfrac{1}{{x - 3}} = 3x + \dfrac{1}{{x - 3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_2} = \left\{ 0 \right\} \ne {S_0}$.

- Đáp án C. Ta có ${x^2}\sqrt {x - 3}  = 3x\sqrt {x - 3}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x = 0\\\sqrt {x - 3}  = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3$.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_3} = \left\{ 3 \right\} \ne {S_0}$.

- Đáp án D. Ta có ${x^2} + \sqrt {{x^2} + 1}  = 3x + \sqrt {{x^2} + 1}  \Leftrightarrow {x^2} = 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_4} = \left\{ {0;3} \right\} = {S_0}$.

Ta có $\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$ (vì ${x^2} + 1 > 0,\;\forall x \in \mathbb{R}$)

Phương trình xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ge 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.$

Ta có: ${x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ge  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 2$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \le 0\\x + 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x \le  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le  - 2$

Do đó $\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le -2\end{array} \right.$

Kết hợp thêm điều kiện $x \ne 2$ ta được điều kiện xác định của phương trình là $x > 2$ hoặc $x \le  - 2$

Phương trình xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\4 - 3x \ge 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\x \le \dfrac{4}{3}\\x \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < x \le \dfrac{4}{3}\\x \ne  - 1\end{array} \right.$.

Phương trình xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\{x^2} + 3x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\\x \ne  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{2}\\x \ne 0\end{array} \right.$

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Ta có ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 2$

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là ${S_0} = \left\{ { - 2;2} \right\}$

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có $\left( {2 + x} \right)\left( { - {x^2} + 2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\ - {x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.$

 Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_1} = \left\{ { - 2;1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right\} \ne {S_0}$

Đáp án B. Ta có $\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.$

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_2} = \left\{ { - 2; - 1;2} \right\} \ne {S_0}$

Đáp án C. Ta có $\sqrt {{x^2} - 3}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3 = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 2$

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_3} = \left\{ { - 2;2} \right\} = {S_0}$

Đáp án D. Ta có ${x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Do đó, tập nghiệm của phương trình là ${S_4} = \left\{ 2 \right\} \ne {S_0}$

Ta có $x + \dfrac{1}{x} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} - x + 1 = 0\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là ${S_0} = \emptyset$

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt x  \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + \sqrt x  \ge 0$

Do đó, phương trình ${x^2} + \sqrt x  =  - 1$ vô nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình là ${S_1} = \emptyset  = {S_0}$

Đáp án B. Ta có $\left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1}  = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - 1} \right| = 0\\\sqrt {2x + 1}  = 0\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Do đó, phương trình $\left| {2x - 1} \right| + \sqrt {2x + 1}  = 0$ vô nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình là ${S_2} = \emptyset  = {S_0}$

Đáp án C. Ta có 

$x\sqrt {x - 5}  = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt {x - 5}  = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$

Do đó, phương trình $x\sqrt {x - 5}  = 0$ có tập nghiệm là ${S_3} = \left\{ 5 \right\} \ne {S_0}$.

Đáp án D. Ta có $\sqrt {6x - 1} \geqslant 0 \Rightarrow 7 + \sqrt {6x - 1} \geqslant 7 > - 18$

Do đó, phương trình $7 + \sqrt {6x - 1}  =  - 18$ vô nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình là ${S_4} = \emptyset  = {S_0}$.