Khoảng cách và góc

Ta có đường thẳng \(\sqrt 3 x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \sqrt 3 x + 1\) có hệ số góc \(k = \sqrt 3  = \tan \alpha  \Rightarrow \alpha  = {60^o}\)

Góc tạo bởi 2 đường thẳng là góc nhọn nên góc cần tìm là \({60^o}\)  

Đường thẳng \(d:\sqrt 3 x + y = 0\) nhận \(\overrightarrow a  = \left( {\sqrt 3 ;\;1} \right)\) là 1 VTPT

Đường thẳng \(d':mx + y - 1 = 0\) nhận \(\overrightarrow b  = \left( {m;\;1} \right)\) là 1 VTPT

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)} \right| = \dfrac{1}{2} \\\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\sqrt 3 .m + 1} \right|}}{{2.\sqrt {{m^2} + 1} }} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {\sqrt 3 .m + 1} \right| = \sqrt {{m^2} + 1} \\ \Leftrightarrow 3{m^2} + 2\sqrt 3 m + 1 = {m^2} + 1 \Leftrightarrow 2{m^2} + 2\sqrt 3 m = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - \sqrt 3 \end{array} \right..\end{array}\) 

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và có khoảng cách từ B đến \(\Delta \) lớn nhất \( \Leftrightarrow AB \bot \Delta \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {3;5} \right)\) là VTPT của \(\Delta \)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\Delta \) : \(3\left( {x - 5} \right) + 5\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y = 0\) 

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và\(B\left( {0; - 4} \right)\) là:

\(AB:\,\,\,\frac{{x - 3}}{{0 - 3}} = \frac{{y - 0}}{{ - 4 - 0}} \Leftrightarrow 4\left( {x - 3} \right) = 3y \Leftrightarrow 4x - 3y - 12 = 0.\)

Ta có \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,\,{y_M}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M;\,\,AB} \right).AB = 6\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 - 3{y_M} - 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.5 = 12 \Leftrightarrow \left| {3{y_M} + 12} \right| = 12\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{y_M} + 12 = 12\\3{y_M} + 12 =  - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_M} = 0 \Rightarrow M\left( {0;\,\,0} \right)\,\,\,\\{y_M} =  - 8 \Rightarrow M\left( {0; - 8} \right)\,\,\,\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có $\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}}$$ = \dfrac{{\left| { - 1 + 6} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }}$$ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy \(\varphi  = 45^\circ \).

Ta có \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {2.3 + \left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}\) \( = \dfrac{{10}}{{10\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra số đo góc giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\dfrac{\pi }{4}\).

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 + t\end{array} \right.\) có \(1\) vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1} \right)\) nên có một véc tơ pháp tuyến là\(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1\,;\, - 1} \right)\).

\({d_2}:2x + 3y + 3 = 0\) có \(1\) vectơ pháp tuyến là\(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2\,;\,3} \right)\).

Gọi góc tạo bởi đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\varphi \).

Ta có \(\cos \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {2 - 3} \right|}}{{\sqrt[{}]{{{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}}.\sqrt[{}]{{{2^2} + {3^2}}}}}\)\( = \dfrac{{\sqrt[{}]{{26}}}}{{26}}\)\( \Rightarrow \varphi  \approx 78^\circ 41'\).

Ta có \(d\left( {M,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.3 + 4.4 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\)\( = \dfrac{{24}}{5}\).

Ta có \(d\left( {O;\,d} \right) = \dfrac{{\left| {3.0 - 4.0 - 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\).

Ta có \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}}\) \( \Leftrightarrow \) \( - x + 1 = 2y + 6\) \( \Leftrightarrow \) \(x + 2y + 5 = 0\).

Do đó \(d\left( {N,\,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 4} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {1;\,2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\,1} \right)\) làm VTCP nên \(AB:1\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \) \(x - y + 1 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(C\left( { - 3;\, - 4} \right)\) đến đường thẳng \(AB\) là: \(d\left( {C,\,AB} \right) = \dfrac{{\left| { - 3 + 4 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) bằng: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.d\left( {C,\,AB} \right) = \dfrac{1}{2}.\sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt 2  = 1\).

Đường thẳng $\Delta $ và có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2;\, - 1} \right)$.

Điểm $A$ thuộc đường thẳng $\left( d \right)$$ \Rightarrow A\left( {3 - t;\,2 - t} \right)$.

$d\left( {A;\,\Delta } \right) = \dfrac{{\,\left| {2\left( {3 - t} \right) - \left( {2 - t} \right) - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 $

$ \Leftrightarrow \left| { - t + 1} \right| = 10$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - t + 1 = 10\\ - t + 1 =  - 10\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 9\\t = 11\end{array} \right.$.

Với $t =  - 9$$ \Rightarrow A\left( {12;\,11} \right)$$ \Rightarrow a.b = 12.11 = 132$.

Với $t = 11$$ \Rightarrow A\left( { - 8;\, - 2} \right)$ (loại).

Cách 1: Tự luận.

Gọi \(M \in d\). Cho \(x =  - 5 \Rightarrow y =  - 3\), suy ra \(M\left( { - 5; - 3} \right)\).

\(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = d\left( {M,{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {5.\left( { - 5} \right) - 7\left( { - 3} \right) + 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {74} }}\).

Ta có: $d:4x - 3y + 13 = 0$, $Ox:y = 0$

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi $d$ và trục $Ox\,\,$là

$\dfrac{{4x - 3y + 13}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} =  \pm y\,\,$$ \Leftrightarrow 4x - 3y + 13 =  \pm 5y\,\,$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x - 8y + 13 = 0\\4x + 2y + 13 = 0\end{array} \right.$

Cách 1: Tự luận.

Gọi là \(d\) đường thẳng song song và cách đều \({d_1}\) và \({d_2}\).

Suy ra phương trình \(d\) có dạng: $5x - 7y + c = 0\,\,\,\left( {c \ne 4,\,\,c \ne 6} \right)$

Mặt khác: \(d\left( {d;\,{d_1}} \right) = d\left( {d;\,{d_2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {c - 4} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {c - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 4 = c - 6\\c - 4 =  - c + 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow c = 5\)

Gọi \(G\left( {a;\;3a - 8} \right)\). Do \({S_{ABC}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}\).

Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\;1} \right)\) là véc tơ chỉ phương nên có phương trình \(x - y - 5 = 0\).

\(AB = \sqrt 2 \), \(d\left( {G;AB} \right) = \dfrac{{\left| {a - \left( {3a - 8} \right) - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {3 - 2a} \right|}}{{\sqrt 2 }}\).

Do \({S_{GAB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2}.AB.d\left( {G;AB} \right) = \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 .\dfrac{{\left| {3 - 2a} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {3 - 2a} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\).

Với \(a = 1 \Rightarrow G\left( {1;\; - 5} \right) \Rightarrow C\left( { - 2;\; - 10} \right)\).

Với \(a = 2 \Rightarrow G\left( {2;\; - 2} \right) \Rightarrow C\left( {1;\; - 1} \right)\).

Vậy $C\left( { - 2;\; - 10} \right)$ hoặc \(C\left( {1;\; - 1} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;4} \right)\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 5\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 12 = 0\).

Gọi \(M\left( {0;m} \right) \in Oy\)\( \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{{\left| {3m - 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {3m - 12} \right|}}{5}\).

Diện tích tam giác \(MAB\) bằng \(6\) nên

\(\dfrac{1}{2}.5\dfrac{{\left| {3m - 12} \right|}}{5} = 6\)\( \Leftrightarrow \left| {3m - 12} \right| = 12\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m = 0\\3m = 24\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0 \Rightarrow M\left( {0;0} \right)\\m = 8 \Rightarrow M\left( {0;8} \right)\end{array} \right.\).

Ta thế tọa đô \(M\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\) và \(P\left( {0;{\rm{ 2}}} \right)\) vào đường thẳng:

\(\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\) nên loại A.

Ta thế tọa đô \(N\left( {1;{\rm{ 1}}} \right)\) và \(P\left( {0;{\rm{ 2}}} \right)\) vào đường thẳng:

\(\left( {1 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0\) nên loại B.

Ta thế tọa đô \(M\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\) và \(Q\left( {2;{\rm{ }} - 1} \right)\) vào đường thẳng:

\(\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right) > 0\) nên thỏa.

Ta có

• \(\left( {2.1 - 3.3 + 6} \right)\left( { - 2.2 - 3.4 + 6} \right) = 10 > 0\) nên hai điểm \(A\), \(B\) nằm cùng về một phía của đường thẳng \(d\)\( \Rightarrow \) cạnh \(AB\) không cắt đường thẳng \(d\).
• \(\left( { - 2.2 - 3.4 + 6} \right)\left( { - 1.2 - 3.5 + 6} \right) = 110 > 0\) nên hai điểm \(B\), \(C\) nằm cùng về một phía của đường thẳng \(d\)\( \Rightarrow \) cạnh \(BC\) không cắt đường thẳng \(d\).
• \(\left( {2.1 - 3.3 + 6} \right)\left( { - 1.2 - 3.5 + 6} \right) = 11 > 0\) nên hai điểm \(A\), \(C\) nằm cùng về một phía của đường thẳng \(d\)\( \Rightarrow \) cạnh \(AC\) không cắt đường thẳng \(d\).

\({d_1}:x + 2y - 2 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,\,2} \right).\)

\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 1 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x - 3\\t = y + 1\end{array} \right. \Rightarrow x - 3 = y + 1 \Rightarrow {d_2}:x - y - 4 = 0.\)

\( \Rightarrow {d_2}\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 1} \right).\)

\( \Rightarrow \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {1.1 - 2.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)