Một số bài toán viết phương trình đường thẳng

$A\left( {2; - 1} \right),B\left( {4;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,6} \right) = 2\left( {1;\,\,3} \right).$

 Đường cao $d$ kẻ từ đỉnh $C$ của $\Delta ABC$ đi qua $C$ và nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

$\Rightarrow d:\,\,1\left( {x + 3} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 3 = 0.$

Ta có: $A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = (4; - 2) =  - 2\left( { - 2;1} \right).$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $AB$  đi qua điểm $A\left( { - 1;3} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right..$

Ta có: $A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = (4; - 2) =  - 2\left( { - 2;1} \right).$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng $AB$  đi qua điểm $A\left( { - 1;3} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right..$

Ta có đường thẳng $\dfrac{{x - 7}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 5}}{5}$ có VTCP là $\overrightarrow u  = \left( { - 1;5} \right)$

Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng trên nên nhận $\overrightarrow u  = \left( { - 1;5} \right)$ là VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng qua $M\left( {--2;3} \right)$ và song song với đường thẳng $\dfrac{{x - 7}}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 5}}{5}$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.$

Đường thẳng đi qua$M(1; - 2)$và có véctơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (4; - 3)$có phương trình tổng quát là:

$4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 10 = 0$

Đường cao h  qua $C\left( { - 3;2} \right)$ vuông góc với AB

$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right)$ là VTPT của h

$\Rightarrow h:2\left( {x + 3} \right) + 6\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 3 = 0$

Đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 5t\\y = 1 - t\end{array} \right.$ có  VTCP  $\overrightarrow u  = \left( {5; - 1} \right)$

Gọi $\overrightarrow n$ là VTPT của đường thẳng $\Delta$ cần tìm

Đường thẳng $\Delta$ cần tìm song song với đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 5t\\y = 1 - t\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow n  \bot \overrightarrow u  \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1;5} \right)$

$\Rightarrow$ Phương trình $\Delta :\,\,x - 1 + 5y = 0 \Leftrightarrow x + 5y - 1 = 0$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 7; - 2} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - 2;7} \right)$ là một VTPT của đường thẳng AB

$\Rightarrow$ Phương trình $AB:\,\, - 2\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 7y + 11 = 0$

Đường cao $AH \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {2;3} \right)$  là một VTPT của đường cao AH

$\Rightarrow$ Phương trình $AH:\,\,2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0$

Gọi I  là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( { - 2;2} \right)$

Gọi d  là đường trung trực của AB $\Rightarrow d \bot AB$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;0} \right)$ là một VTPT của d

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I\left( { - 2;\,\,2} \right)$ và vuông góc với $AB$  là:

 $d:\,\, - 2\left( {x + 2} \right) + 0\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0$

Tam giác ABC cân tại C $\Rightarrow$ C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB

$\Rightarrow$ Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\2x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 2; - 1} \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2; - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)$ làm VTCP là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 1 - 2t\end{array} \right.$

Gọi I  là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( {2; - 4} \right)$

d là đường trung trực của đoạn thẳng AB $\Rightarrow$ d đi qua I và nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;4} \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow$Phương trình tổng quát của d là:

$- 2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 4y + 20 = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y + 10 = 0$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;5} \right)$ là một VTPT của đường thẳng AB; $B\left( {0;3} \right) \in AB$

$\Rightarrow$ Phương trình tham số của đường thẳng AB: $\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.$ 

Gọi AH  là đường cao của tam giác ABC

$\Rightarrow AH \bot BC$

$\Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {1;6} \right)$ là VTPT của đường thẳng  AH.

$\Rightarrow$ Phương trình AH : $1\left( {x - 1} \right) + 6\left( {y - 0} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 6y - 1 = 0$

Đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {2;4} \right)$ làm véctơ pháp tuyến có phương trình là $2\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y + 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2x + 4y + 6 = 0$ $\Leftrightarrow x + 2y + 3 = 0$.

Phương trình đường thẳng là $- 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 2} \right) = 0$ hay $x - 2y - 5 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\,1} \right)$ là véctơ chỉ phương của đường thẳng $AB$. Nên $\overrightarrow n  = \left( {1;\, - 3} \right)$ là véctơ pháp tuyến của đường thẳng $AB$.

Khi đó phương trình đường thẳng $AB$ là $x - 3\left( {y + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 3y - 3 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;8} \right)$là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$.

$\Rightarrow \vec n = \left( {8;3} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm $A$, $B$.

Phương trình tổng quát đường thẳng cần tìm là

$8\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 8x + 3y + 1 = 0$.

Phương trình đoạn chắn $\left( {AB} \right):\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = 1$ loại B

$\left( {AB} \right):\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = 1 \Leftrightarrow 5x + 4y - 20 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  = \left( {5;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( { - 4;5} \right)\\A\left( {4;0} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 4t\\y = 5t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ loại A

$\left( {AB} \right):\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{y}{5} = 1 - \dfrac{x}{4} \Leftrightarrow \dfrac{y}{5} = \dfrac{{x - 4}}{{ - 4}}$ loại C

$\left( {AB} \right):\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{5} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{y}{5} = 1 - \dfrac{x}{4} \Leftrightarrow y =  - \dfrac{5}{4}x + 5$ chọn D

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {0; - 5} \right)$ và $B\left( {3;0} \right)$

$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{{ - 5}} = 1$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{5} = 1$.