Một số bài toán viết phương trình đường thẳng

Tọa độ giao điểm $M$ của $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y =  - 5\\2x + 4y = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{3}{8}\\y = \dfrac{{31}}{{16}}\end{array} \right.$$\Rightarrow M\left( { - \dfrac{3}{8};\dfrac{{31}}{{16}}} \right)$.

Phương trình đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ song song với $\left( {{d_3}} \right)$ qua $M\left( { - \dfrac{3}{8};\dfrac{{31}}{{16}}} \right)$ có dạng

$\left( \Delta  \right)$: $3\left( {x + \dfrac{3}{8}} \right) + 4\left( {y - \dfrac{{31}}{{16}}} \right) = 0$$\Leftrightarrow 3x + 4y - \dfrac{{53}}{8} = 0$$\Leftrightarrow 24x + 32y - 53 = 0$.

Đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ vuông góc với $d$ có phương trình: $x - 2y +m= 0$.

$\left( \Delta  \right)$ đi qua $A\left( {2;1} \right)$ nên:

$2-2.1+m=0\Leftrightarrow m=0$

Do đó $\left( \Delta  \right)$:$x-2y=0$.

Gọi $A'$ là hình chiếu của $A$ lên $d$ khi đó $A' = \Delta  \cap d$.

Tọa độ $A$ là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 7 = 0\\x - 2y = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{14}}{5}\\y = \dfrac{7}{5}\end{array} \right.$.

Vậy $A'\left( {\dfrac{{14}}{5};\dfrac{7}{5}} \right)$.

$\Delta  \bot d \Rightarrow \Delta :2x + y + m = 0$, mà $M\left( {\,0;\,1} \right) \in \Delta :$$2.0 + 1 + m = 0$$\Leftrightarrow m =  - 1$$\Rightarrow \Delta :2x + y - 1 = 0$.

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 1 = 0\\x - 2y - 3 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right.$.

Vậy $H\left( {\,1;\, - 1} \right)$.

Ta có $M'\left( {x;y} \right)$ là điểm đối xứng với $M$ qua $N$ nên $N$ là trung điểm $MM'$.

Tọa độ điểm $M'$ là $\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_N} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_N} - {y_M}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} =  - 6\\{y_{M'}} = 3\end{array} \right.$.

Vậy $x + y =  - 3$.

$\Delta$ vuông góc $d:\,x - 2y + 1 = 0$$\Rightarrow \Delta$ có VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {2;\,1} \right)$.

$\Delta$ qua $M\left( {2;\,3} \right)$ nên có phương trình là $2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + y - 7 = 0$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\; - 4} \right)$, $\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4;\;3} \right)$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$, suy ra $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$.

Do đó đường phân giác trong của góc $A$ cũng chính là đường trung tuyến của tam giác.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ khi đó $\overrightarrow {AM}$ là véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc $A$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{4 + \left( { - 3} \right)}}{2} = \dfrac{1}{2}\\{y_M} = \dfrac{{ - 2 + 5}}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{2};\;\dfrac{3}{2}} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {AM}  = \left( { - \dfrac{1}{2};\; - \dfrac{1}{2}} \right)$.

Vậy một véctơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc $A$ có dạng $\overrightarrow u  = \left( {1;\;1} \right)$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2\\{y_M} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\, - 1} \right)$.

Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right)$ làm VTPT và đi qua $M\left( {2; - 1} \right)$ nên:

PTTQ: $2\left( {x - 2} \right) + 6\left( {y + 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + 3y + 1 = 0$.

Gọi $M$ trung điểm $BC$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{1 - 5}}{2} = - 2\\ {y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 2 + 4}}{2} = 1 \end{array} \right.$

$\Rightarrow M\left( { - 2;1} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {0; - 2} \right)$

Đường thẳng AM đi qua A(-2;3) và nhận $\overrightarrow {AM}  = \left( {0; - 2} \right)$ làm VTCP nên có phương trình tham số là:

$\left( {AM} \right):\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 3 - 2t\end{array} \right.$

Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2\\{y_M} = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\,0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AM}  = \left( {1;\, - 1} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {1;\,1} \right)$.

Phương trình đường trung tuyến $AM$: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{AM}}}  = \left( {1;1} \right)\\A\left( {1;1} \right)\end{array} \right.$.

PTTQ: $x + y - 2 = 0$.

Đường thẳng $d$ qua $A\left( {1;\;1} \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)$ có phương trình tham số là

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.$.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A\left( {3;4} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {3; - 2} \right)$ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = 4 - 2t\end{array} \right.$.

Gọi $M\left( { - 1 + 2t;\;2 + t} \right)$.

Do $AM = \sqrt {10}  \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2t - 3} \right)}^2} + {{\left( {t + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10}$ $\Leftrightarrow 5{t^2} - 10t + 10 = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.$.

Với $t = 0$$\Rightarrow M\left( { - 1;\;2} \right)$.

Với $t = 2$$\Rightarrow M\left( {3;\;4} \right)$.

Vậy $M\left( { - 1;\;2} \right)$ hoặc $M\left( {3;\;4} \right)$.

Đường thẳng $AC$ qua $C\left( { - 1;2} \right)$và vuông góc với $BH$ nên có phương trình $AC$:$x + y - 1 = 0$

Khi đó tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\2x - y + 5 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{4}{3}\\y = \dfrac{7}{3}\end{array} \right.$. Vậy $A\left( { - \dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3}} \right)$.

$M$ là trung điểm của $AB$nên $M\left( {2;\,\dfrac{5}{2}} \right)$; $\overrightarrow {CM} \left( { - 3;\,\dfrac{5}{2}} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $CM$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 3t\\y = \dfrac{5}{2}t\end{array} \right.$.

Với $t = 2$ thì $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 5\end{array} \right.$.

Đường cao $AH$ của $\Delta ABC$ qua $A\left( { - 2;7} \right)$ và nhận $\overrightarrow {CB}  = \left( {2;9} \right)$ làm VTPT nên có phương trình: $2\left( {x + 2} \right) + 9\left( {y - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 9y - 59 = 0$.

Đường cao $BH$ của $\Delta ABC$ qua $B\left( {3;5} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 11} \right)$ làm VTPT nên có phương trình là $3\left( {x - 3} \right) - 11\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 11y + 46 = 0$.

Tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 59 = 0\\3x - 11y + 46 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{235}}{{49}}\\y = \dfrac{{269}}{{49}}\end{array} \right.$.

Vậy $T = \dfrac{{72}}{7}$.

Đường thẳng $d:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ đi qua điểm $M\left( { - 1;6} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{a} + \dfrac{6}{b} = 1\left( 1 \right)$.

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $d$ với các tia $Ox,Oy$ thì $A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)$ và $a,b > 0$.

Đường thẳng $d:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ tạo với các tia $Ox$;$Oy$ tam giác có diện tích bằng $4$$\Rightarrow ab = 8\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$;$\left( 2 \right)$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{a} + \dfrac{6}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{a} + \dfrac{6}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{8} + \dfrac{6}{b} = 1\\ab = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = 2\end{array} \right.$(nhận) hoặc$\left\{ \begin{array}{l}b =  - 12\\a =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$(Loại)

$\Rightarrow a + 2b = 10$.

Dễ thấy tam giác $OMN$ vuông tại $O$ suy ra $MN = 2OI = 2\sqrt {{3^2} + {2^2}}  = 2\sqrt {13}$.

Dễ thấy $\dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABM}}}} = 4$$\Leftrightarrow \dfrac{{BC}}{{BM}} = 4$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = 4\overrightarrow {BM} \\\overrightarrow {BC}  =  - 4\overrightarrow {BM} \end{array} \right.$.

TH1: $\overrightarrow {BC}  = 4\overrightarrow {BM}$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 =  - \dfrac{3}{4}\\y - 1 =  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{4}\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$$\Rightarrow x.y = \dfrac{5}{{16}}$.

TH2: $\overrightarrow {BC}  =  - 4\overrightarrow {BM}$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \dfrac{3}{4}\\y - 1 = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11}}{4}\\y = \dfrac{7}{4}\end{array} \right.$$\Rightarrow x.y = \dfrac{{77}}{{16}}$.

Gọi $H\left( {x;y} \right)$.

Ta có $H = AH \cap BH$.

Nên tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\x - y = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$, suy ra $H\left( {2;0} \right)$.

Đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u  = \left( {1;7} \right)$.

Đường cao $CH$ vuông góc với cạnh $AB$ nên nhận $\overrightarrow u$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường cao $CH$ là $\left( {x - 2} \right) + 7\left( {y - 0} \right) = 0$$\Leftrightarrow x + 7y - 2 = 0$.

Cách 1: Tự luận

Vì $\Delta \,{\rm{//}}\,d$ nên $\Delta$ có dạng $3x - 2y + c = 0$ với $c \ne 12$.

$\Delta$ cắt $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A$, $B$ suy ra tọa độ của $A\left( { - \dfrac{c}{3};0} \right)$ và $B\left( {0; - \dfrac{c}{2}} \right)$.

Theo đề bài $AB = \sqrt {13}  \Leftrightarrow A{B^2} = 13$ $\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{c}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{c}{2}} \right)^2} = 13$ $\Leftrightarrow {c^2} = 36 \Leftrightarrow c =  \pm 6$

Với $c = 6$: $\Delta :3x - 2y + 6 = 0$.

Với $c = - 6$: $\Delta :3x - 2y - 6 = 0$ hay $\Delta :6x - 4y - 12 = 0$.