Khái niệm nào sau đây định nghĩa về elip?
Định nghĩa về Elip là: Cho ${F_1},{\rm{ }}{F_2}$ cố định với ${F_1}{F_2} = 2c,{\rm{ }}\left( {c > 0} \right)$ và một độ dài $2a$ không đổi $\left( {a > c} \right)$. Elip $\left( E \right)$ là tập hợp các điểm $M$ sao cho $M \in \left( P \right) \Leftrightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a$.
Cho Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a > b > 0$. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a > b > 0$ thì có tiêu cự \(2c > 0\) thỏa mãn \({c^2} = {a^2} - {b^2}\) và tâm sai \(e = \dfrac{c}{a}\).
Dạng chính tắc của Elip là
Dạng chính tắc của Elip là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Cho Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a > b > 0$. Khi đó khẳng định nào sau đây sai?
Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là ${A_1}\left( {a;0} \right)$, ${A_1}\left( { - a;0} \right)$.
Với ${c^2} = {a^2} - {b^2}$ $\left( {c > 0} \right)$, tâm sai của elip là $e = \dfrac{c}{a}$.
Cho Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a > b > 0$. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a > b > 0$ thì có tiêu cự \(2c > 0\) thỏa mãn \({c^2} = {a^2} - {b^2}\) và có các tiêu điểm \(\left( { - c;0} \right)\) và \(\left( {c;0} \right)\).
Cho Elip có phương trình : $9{x^2} + 25{y^2} = 225$. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng
$9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.
Từ đây, ta được \(a = 5,{\rm{ }}b = 3\).
Diện tích hình chữ nhật cơ sở là \(S = 2a.2b = 60.\)
Elip (E): $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ có tâm sai bằng bao nhiêu?
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\\{c^2} = {a^2} - {b^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.$
Vậy tâm sai của Elip \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\)
Đường Elip $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1$ có tiêu cự bằng
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 7\\{c^2} = {a^2} - {b^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \sqrt 7 \\c = 3\end{array} \right.$.
Vậy: Tiêu cự của Elip \({F_1}{F_2} = 2c = 2.3 = 6\).
Cho elip $\left( E \right):{x^2} + 4{y^2} = 1$ và cho các mệnh đề:
$\left( I \right)$ $\left( E \right)$ có trục lớn bằng $4$ $\left( {II} \right)$$\left( E \right)$ có trục nhỏ bằng $1$
$\left( {III} \right)$$\left( E \right)$ có tiêu điểm ${F_1}\left( {0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ $\left( {IV} \right)$$\left( E \right)$ có tiêu cự bằng $\sqrt 3 $
Trong các mệnh đề trên, tìm mệnh đề đúng?
$\left( E \right):{x^2} + 4{y^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} + \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{1}{4}}} = 1$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
Vậy, $\left( E \right)$ có trục lớn bằng $2a = 2$, có trục nhỏ bằng $2b = 1$, có tiêu điểm ${F_1}\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, có tiêu cự bằng $2c = \sqrt 3 $.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho elip \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip \(\left( E \right)\)
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
Ta có \(a = 6\), \(b = 3\), vậy phương trình của Elip là: \(\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là $x + 4 = 0$ và một tiêu điểm là $\left( { - 1;0} \right)$.
Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$.
Elip co tiêu điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) \( \Rightarrow c = 1\).
Đường chuẩn \(x = - 4\) \( \Rightarrow \dfrac{a}{e} = 4 \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{c} = 4 \Rightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2\).
Do đó: \(b = \sqrt {{2^2} - {1^2}} = \sqrt 3 \).
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1$.
Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng $\dfrac{1}{3}$ và trục lớn bằng \(6\).
Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$.
Theo giả thiết: \(e = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow a = 3c\) và \(2a = 6 \Leftrightarrow a = 3\)\( \Rightarrow c = 1\)
Khi đó: \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {3^2} = {b^2} + 1\)\( \Leftrightarrow {b^2} = 8\)\( \Leftrightarrow b = 2\sqrt 2 \)
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1$.
Một elip có trục lớn bằng $26$ , tâm sai $e = \dfrac{{12}}{{13}}$. Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu?
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
Độ dài trục lớn $2a = 26 \Rightarrow a = 13$, tâm sai $e = \dfrac{{12}}{{13}} \Rightarrow c = 12$.
Trục nhỏ $2b = 2\sqrt {{a^2} - {c^2}} = 10$.
Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$.
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
Một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$, suy ra \(a = 4,{\rm{ }}b = 3\).
Phương trình \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng $6$ và đi qua điểm $A\left( {0;5} \right)$.
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
Theo giả thiết: \(2c = 6 \Leftrightarrow c = 3\).
Vì $A\left( {0;5} \right) \in \left( E \right)$ nên ta có phương trình: $\dfrac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{5^2}}}{{{b^2}}} = 1\, \Leftrightarrow b = 5$.
Khi đó: \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {5^2} + {3^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 34 \Leftrightarrow a = \sqrt {34} \).
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{34}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1$.
Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng $4\sqrt 3 $
Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$.
Theo giả thiết: \(2a = 2.2b \Leftrightarrow a = 2b\)và \(2c = 4\sqrt 3 \Leftrightarrow c = 2\sqrt 3 \)
Khi đó: \({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {\left( {2b} \right)^2} = {b^2} + 12\)\( \Leftrightarrow 3{b^2} - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow b = 2\)\( \Rightarrow a = 4\).
Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho elíp $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$ và điểm $C\left( {2;0} \right)$.Tìm tọa độ các điểm $A,{\rm{ }}B$ trên $\left( E \right)$, biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành và$\;\Delta ABC$ là tam giác đều và điểm $A$ có tung độ dương
Giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right).$ Do $A,B$ đối xứng nhau qua $Ox$ nên $B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)$.
Ta có: $A{B^2} = 4y_0^2$ và $A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.$
Vì $A \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}{\rm{ }}\left( 1 \right)$.
Vì $AB = AC$nên ${\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2{\rm{ }}\left( 2 \right).$
Thay $\left( 1 \right)$vào $\left( 2 \right)$ ta được $7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0}\\{{x_0} = \dfrac{2}{7} \Rightarrow {y_0} = \pm \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}}\end{array}} \right.$.
Vì điểm $A$ khác $C$ và $A$ có tung độ dương nên $A\left( {\dfrac{2}{7};{\rm{ }}\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$ và $B\left( {\dfrac{2}{7};{\rm{ }} - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$.
Phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm $A\left( {2; - 2} \right)$ là
Phương trình chính tắc của elip có dạng$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
Theo đề bài, ta được hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4{b^2}\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4{b^2}\\\dfrac{5}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 20\\{b^2} = 5\end{array} \right.\) .
Suy ra: \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1.\)
Lập phương trình chính tắc của elip $\left( E \right).$ Hình chữ nhật cơ sở của $\left( E \right)$ có một cạnh nằm trên đường thẳng $y - 2 = 0$ và có độ dài đường chéo bằng \(12\).
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)$.
Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng $xy- 2 = 0$ nên có \(b = 2\).
Mặt khác \({(2a)^2} + {(2b)^2} = {12^2} \Leftrightarrow {a^2} = 32\)\( \Leftrightarrow a = 4\sqrt 2 \)
Vậy phương trình Elip là \(\dfrac{{{x^2}}}{32} + \dfrac{{{y^2}}}{{4}} = 1\).
Lập phương trình chính tắc của elip $\left( E \right),$ biết đi qua điểm $M\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)$ và $\Delta M{F_1}{F_2}$ vuông tại $M$.
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
Do Elip đi qua \(M\) nên $\dfrac{9}{{5{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1$. Lại có $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^{\rm{o}}} \Leftrightarrow OM = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2} = c$$ \Leftrightarrow c = \sqrt 5 $
Như vậy ta có hệ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{9}{{5{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\\{a^2} - {b^2} = 5\end{array} \right.$. Giải hệ ta được ${a^2} = 9;{b^2} = 4$$ \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.