Elip

Định nghĩa về Elip là: Cho ${F_1},{\rm{ }}{F_2}$ cố định với ${F_1}{F_2} = 2c,{\rm{ }}\left( {c > 0} \right)$ và một độ dài $2a$ không đổi $\left( {a > c} \right)$.  Elip $\left( E \right)$ là tập hợp các điểm $M$ sao cho $M \in \left( P \right) \Leftrightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a$.

Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a > b > 0$ thì có tiêu cự $2c > 0$ thỏa mãn ${c^2} = {a^2} - {b^2}$ và tâm sai $e = \dfrac{c}{a}$.

Dạng chính tắc của Elip là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Với ${c^2} = {a^2} - {b^2}$ $\left( {c > 0} \right)$, tâm sai của elip là $e = \dfrac{c}{a}$.

Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $a > b > 0$ thì có tiêu cự $2c > 0$ thỏa mãn ${c^2} = {a^2} - {b^2}$ và có các tiêu điểm $\left( { - c;0} \right)$ và $\left( {c;0} \right)$.

$9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Từ đây, ta được $a = 5,{\rm{ }}b = 3$.

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là $S = 2a.2b = 60.$

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a,b > 0} \right)$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\\{c^2} = {a^2} - {b^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.$

Vậy tâm sai của Elip $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}$

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a,b > 0} \right)$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 7\\{c^2} = {a^2} - {b^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \sqrt 7 \\c = 3\end{array} \right.$.

Vậy:  Tiêu cự của Elip ${F_1}{F_2} = 2c = 2.3 = 6$.

$\left( E \right):{x^2} + 4{y^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} + \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{1}{4}}} = 1$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1\\{b^2} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$$\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy, $\left( E \right)$ có trục lớn bằng $2a = 2$, có trục nhỏ bằng $2b = 1$, có tiêu điểm ${F_1}\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)$, có tiêu cự bằng $2c = \sqrt 3$.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a,b > 0} \right)$.

Ta có $a = 6$, $b = 3$, vậy phương trình của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$.

Elip co tiêu điểm $\left( { - 1;0} \right)$ $\Rightarrow c = 1$.

Đường chuẩn $x =  - 4$ $\Rightarrow \dfrac{a}{e} = 4 \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{c} = 4 \Rightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2$.

Do đó: $b = \sqrt {{2^2} - {1^2}}  = \sqrt 3$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{3} = 1$.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$.

Theo giả thiết: $e = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3}$$\Rightarrow a = 3c$ và $2a = 6 \Leftrightarrow a = 3$$\Rightarrow c = 1$

Khi đó: ${a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {3^2} = {b^2} + 1$$\Leftrightarrow {b^2} = 8$$\Leftrightarrow b = 2\sqrt 2$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{8} = 1$.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a,b > 0} \right)$.

Độ dài trục lớn $2a = 26 \Rightarrow a = 13$, tâm sai $e = \dfrac{{12}}{{13}} \Rightarrow c = 12$.

Trục nhỏ $2b = 2\sqrt {{a^2} - {c^2}}  = 10$.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a,b > 0} \right)$.

Một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là $M\left( {4;3} \right)$, suy ra $a = 4,{\rm{ }}b = 3$.

Phương trình $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a,b > 0} \right)$.

Theo giả thiết: $2c = 6 \Leftrightarrow c = 3$.

Vì $A\left( {0;5} \right) \in \left( E \right)$ nên ta có phương trình: $\dfrac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{5^2}}}{{{b^2}}} = 1\, \Leftrightarrow b = 5$.

Khi đó: ${a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = {5^2} + {3^2}$$\Leftrightarrow {a^2} = 34 \Leftrightarrow a = \sqrt {34}$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{34}} + \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1$.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$.

Theo giả thiết: $2a = 2.2b \Leftrightarrow a = 2b$và $2c = 4\sqrt 3  \Leftrightarrow c = 2\sqrt 3$

Khi đó: ${a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {\left( {2b} \right)^2} = {b^2} + 12$$\Leftrightarrow 3{b^2} - 12 = 0$$\Leftrightarrow b = 2$$\Rightarrow a = 4$.

Vậy phương trình chính tắc của Elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right).$ Do $A,B$ đối xứng nhau qua $Ox$ nên $B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)$.

Ta có: $A{B^2} = 4y_0^2$ và $A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.$

Vì $A \in \left( E \right)$ nên $\dfrac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}{\rm{  }}\left( 1 \right)$.

Vì $AB = AC$nên ${\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2{\rm{  }}\left( 2 \right).$

Thay $\left( 1 \right)$vào $\left( 2 \right)$ ta được $7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 0}\\{{x_0} = \dfrac{2}{7} \Rightarrow {y_0} =  \pm \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}}\end{array}} \right.$.

Vì điểm $A$ khác $C$ và $A$ có tung độ dương nên $A\left( {\dfrac{2}{7};{\rm{ }}\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$ và $B\left( {\dfrac{2}{7};{\rm{ }} - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)$.

Phương trình chính tắc của elip có dạng$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a,b > 0} \right)$.

Theo đề bài, ta được hệ

$\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4{b^2}\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4{b^2}\\\dfrac{5}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 20\\{b^2} = 5\end{array} \right.$ .

Suy ra: $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{20}} + \dfrac{{{y^2}}}{5} = 1.$

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a > b > 0} \right)$.

Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng $xy- 2 = 0$ nên có $b = 2$.

Mặt khác ${(2a)^2} + {(2b)^2} = {12^2} \Leftrightarrow {a^2} = 32$$\Leftrightarrow a = 4\sqrt 2$

Vậy phương trình Elip là $\dfrac{{{x^2}}}{32} + \dfrac{{{y^2}}}{{4}} = 1$.

Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  }}\left( {a,b > 0} \right)$.

Do Elip đi qua $M$ nên $\dfrac{9}{{5{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1$. Lại có $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^{\rm{o}}} \Leftrightarrow OM = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2} = c$$\Leftrightarrow c = \sqrt 5$

Như vậy ta có  hệ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{9}{{5{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\\{a^2} - {b^2} = 5\end{array} \right.$. Giải hệ ta được ${a^2} = 9;{b^2} = 4$$\Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.