Lập phương trình chính tắc của elip $\left( E \right),$ biết đi qua điểm $M\left( {\dfrac{3}{{\sqrt 5 }};\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)$ và $\Delta M{F_1}{F_2}$ vuông tại $M$.
Trả lời bởi giáo viên
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a,b > 0} \right)$.
Do Elip đi qua \(M\) nên $\dfrac{9}{{5{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1$. Lại có $\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^{\rm{o}}} \Leftrightarrow OM = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2} = c$$ \Leftrightarrow c = \sqrt 5 $
Như vậy ta có hệ điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{9}{{5{a^2}}} + \dfrac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\\{a^2} - {b^2} = 5\end{array} \right.$. Giải hệ ta được ${a^2} = 9;{b^2} = 4$$ \Rightarrow \left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.
Hướng dẫn giải:
- Lập hệ phương trình ẩn \(a,b\) từ các điều kiện bài cho.
- Giải hệ và kết luận phương trình.