Phương trình đường tròn

+) Xét phương trình: \(7{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 5 = 0\) có hệ số của \({x^2}\) và hệ số của \({y^2}\) khác nhau nên không là phương trình đường tròn.

+) Xét phương trình: \(4{x^2} + 4{y^2} - 2xy + 7y + 5 = 0\) có đại lượng \(xy\) đây không là phương trình đường tròn.

+) Xét phương trình: \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 11 = 0\) có:  \(a=1,\,b=-3,\,c=11\). Ta thấy \({1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - 11 < 0 \Rightarrow \) đây là không phương trình đường tròn.

+) Xét phương trình: \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 11 = 0\) có:  \(a=1,\,b=-3,\,c=-11\). Ta thấy \({1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + 11 > 0 \Rightarrow \) đây là phương trình đường tròn.

Bán kính đường tròn \(\left( {{C_m}} \right)\) là: \(R = \sqrt {9 + {m^2}}  \ge 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn \(\left( {{C_m}} \right)\) bằng 3 đạt được khi \(m = 0\).

Ta có: \({4^2} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2.4 + 10.\left( { - 1} \right) + 1 = 0\)

Vậy điểm \(N\left( {4; - 1} \right) \in \left( C \right)\)

Phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và có bán kính \(R = 4\) là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\) 

Đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {2;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {25}  = 5\)

Đáp án A: Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 4x + 7y - 8 = 0\) có \(a = 2,b =  - \dfrac{7}{2}\). Loại

Đáp án  B: Đường tròn \({x^2} + {y^2} + 2x - 20 = 0\) có \(a =  - 1,b = 0\). Loại

Đáp án C: Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 9 = 0\) có \(a = 3,b = 1\). Loại

Đáp án D: Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y = 0\) có \(a = 1,b =  - 3\)  nên có tâm \(I\left( {1; - 3} \right)\)

Vậy  \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y = 0\) là phương trình cần tìm.

Gọi  I  là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {3; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \)

Vì đường tròn đường kính AB \( \Rightarrow \) Đường tròn có tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và  bán kính \(R = IA = \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2 \)\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 4y + 11 = 0\)

Đáp án A: \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 9 = 0\)  có \(a = 1,b =  - 2,c = 9\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 9 = 1 + 4 - 9 =  - 4 < 0\)

=> Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 9 = 0\)  không là phương trình đường tròn.

Đáp án B: \(2{x^2} + 2{y^2}+ 4x-8y+19=0\) có \(a=-1,b=2,c=\dfrac{19}{2}=>(-1)^2+2^2-\dfrac{19}{2}<0\)

=> Phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 8y + 19 = 0\) không là phương trình đường tròn.

Đáp án C: \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 15 = 0\) có \(a = 1,b =  - 3,c =  - 15 \Rightarrow {1^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + 15 > 0\)

=> Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 15 = 0\) là phương trình đường tròn.

Đáp án D: \({x^2} + {y^2} + 4y - 6y + 13 = 0\) có \(a =  - 2,b = 3,c = 13 \Rightarrow {\left( { - 2} \right)^2} + {3^2} - 13 = 0\)

=> Phương trình \({x^2} + {y^2} + 4y - 6y + 13 = 0\) không là phương trình đường tròn.

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x + 6y - 15 = 0\) là phương trình đường tròn.

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 1 = 0\) có bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {1^2} + 1}  = \sqrt 6 \)

Chọn A.

Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD có tâm I  bán kính R

\( \Rightarrow \) I  là trung điểm của AC ; \(R = \dfrac{1}{2}AC\)

\( \Rightarrow I\left( {0;1} \right);\,\,{R^2} = \dfrac{1}{4}A{C^2} = \dfrac{1}{4}\left[ {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \right] = \dfrac{1}{4}.20 = 5.\)

Phương trình \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\) 

Thử các đáp án ta ta thấy phương trình \({x^2} + {y^2} + 2x - 8 = 0\) là phương trình đường tròn.

Gọi phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) ngoại tiếp tam giác ABC có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)

Vì 3 điểm \(A,B,C \in \left( C \right)\) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{14^2} + {7^2} - 28a - 14b + c = 0\\{11^2} + {8^2} - 22a - 16b + c = 0\\{13^2} + {8^2} - 26a - 16b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 28a - 14b + c =  - 245\\ - 22a - 16b + c =  - 185\\ - 26a - 16b + c =  - 233\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 12\\b = 6\\c = 175\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 24x - 12y + 175 = 0\)

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 9 = 0\)

Ta có: \(a =  - 4;\,\,b =  - 3;\,\,c = 9\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4; - 3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{4^2} + {3^2} - 9}  = 4.\)

\( \Rightarrow \) A và B đúng.

Thay \(x =  - 1,y = 0\) vào \(\left( C \right)\) ta được: \({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 9 = 2 \ne 0\) nên \(M\left( { - 1;0} \right) \notin \left( C \right).\)

Đường tròn \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\) và bán kính \(R\).

Đường tròn \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

Ta có \({x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 + {y^2} - 36 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = 36\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = {6^2}\)

Vậy bán kính đường tròn \(R = 6\).

${x^2} + {y^2} - 5y = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{25}}{4}$

Vậy đường tròn có bán kính $R = \dfrac{5}{2}.$

\(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\) \( \Rightarrow I\left( {1; - 3} \right),R = \sqrt {16}  = 4\)

\(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\) \( \Rightarrow I\left( {0; - 4} \right),R = \sqrt 5 \)

\(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 8\) \( \Rightarrow I\left( { - 1;0} \right),R = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 \)