Hệ thức lượng trong tam giác

Áp dụng định lý hàm số sin cho \(\Delta ABC\) ta có: \(\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \dfrac{{10}}{{\sin 30^\circ }} = 2R \Rightarrow R = 10.\)

Theo định lí sin, ta có: \( \dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = R\)

\( R = \dfrac{a}{{\sin A}}\) đúng

\( R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}b\)

Mà \( \sin B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{b}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = b\sqrt 2 \)

Vậy B sai.

\( R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}c\) (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

\( R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a\) (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

Ta có:

Công thức tính diện tích là: \( S = \dfrac{1}{2}ac.\sin B\)

Mà \( \widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Thay vào công thức tính diện tích, ta được:

\( S = \dfrac{1}{2}ac.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.ac\)

\( {a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\) (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: \( {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)

Không đủ dữ kiện để suy ra \( {a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\)

\( \dfrac{b}{{\sin A}} = \dfrac{a}{{\sin B}}\) (Loại)

Theo định lí sin, ta có: \( \dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}\) 

\( \sin B = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)(sai vì theo câu a, \( \sin B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\))

\( {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.\)

Theo định lý cos ta có:

\( {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B\) (*)

Mà \( \widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}\).

Thay vào (*) ta được: \( {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\;\cos {135^o}\)

Vậy D đúng.

+ \( \sin A = \sin \,(B + C)\)

Ta có: \( \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)

\( \begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\ \Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\end{array}\)

Vậy A đúng.

+ \( \cos A = \cos \,(B + C)\)

Sai vì \( \cos \,(B + C) = - \cos A\)(Do \( \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\))

+ \( \;\cos A > 0\)

Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu \( {0^o} < \widehat A < {90^o}\) thì \( \cos A > 0\)

Nếu \( {90^o} < \widehat A < {180^o}\) thì \( \cos A < 0\)

+ \( \sin A\,\, \le 0\)

Ta có \( S = \dfrac{1}{2}bc.\sin A > 0\)

Mà \( b,c > 0\)

\(  \Rightarrow \sin A > 0\)

Vậy D sai.

A.\( S = \dfrac{{abc}}{{4r}}\)

Ta có: \( S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\). Mà \( r < R\)nên suy ra \( S = \dfrac{{abc}}{{4R}} < \dfrac{{abc}}{{4r}}\)

Vậy A sai.

B.\( r = \dfrac{{2S}}{{a + b + c}}\)

Ta có: \( S = pr \Rightarrow r = \dfrac{S}{p}\)

Mà\( p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\;\; \Rightarrow r = \dfrac{S}{p}\; = \dfrac{S}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} = \dfrac{{2S}}{{a + b + c}}\;\)

Vậy B đúng

C.\( {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A\)

Sai vì theo định lí cos ta có: \( {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A\)

D.\( S = r\,(a + b + c)\)

Sai vì \( S = pr = r.\dfrac{{a + b + c}}{2}\)

Ta có: \( R = \dfrac{a}{{\sin A}} \Rightarrow a = R.\sin A\)

Mà \( R = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \;\widehat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}\)

\(  \Rightarrow a = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}.\sin {75^o} \approx 11,154\)

Theo định lí sin: \( \dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = R\)

+) Ta có: \( R = \dfrac{b}{{\sin B}}\)

Mà \( b = AC = 10,\;\;\widehat B = {60^o}\)

\(  \Rightarrow R = \dfrac{{10}}{{\sin {{60}^o}}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}.\)

Xét tam giác ABC, ta có:

\( \begin{array}{l}\widehat B = {124^o};\widehat A = {30^o}\\ \Rightarrow \widehat C = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = {180^o} - \left( {{{124}^o} + {{30}^o}} \right) = {26^o}\end{array}\)

Theo định lí sin, ta có

\( \dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{c}{{\sin C}} \Rightarrow a = \dfrac{{c.\sin A}}{{\sin C}}\)

Mà \( \left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\c = AB = 53\\\widehat A = {30^o};\widehat C = {26^o}\end{array} \right. \Rightarrow 30t = \dfrac{{53.\sin {{30}^o}}}{{\sin {{26}^o}}}\)

\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow 30t \approx 60,45\\ \Leftrightarrow t \approx 2\;(h)\end{array}\)

Vậy sau khoảng 2 giờ thì tàu A đuổi kịp tàu B.

Gọi t (đơn vị: giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30km/h nên quãng đường BC = 30t

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50km/h nên quãng đường AC = 50t

Theo định lí sin, ta có: \( \dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin B}}\)

Trong đó: \( \left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\b = AC = 50t\\\widehat B = {124^o}\end{array} \right.\)

\( \begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{30t}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{50t}}{{\sin {{124}^o}}}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{30t.\sin {{124}^o}}}{{50t}} = \dfrac{{30.\sin {{124}^o}}}{{50}} \approx 0,4974\end{array}\)

\(  \Leftrightarrow \alpha \approx {30^o}\) hoặc \( \alpha \approx {150^o}\)(loại)

Vậy tàu A chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu B góc \( {30^o}\).

\( N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \dfrac{1}{2}.\sin {45^o}\)

Ta có: \( \sin {60^o} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cos {30^o} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\;\sin {45^o} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\;\)

Thay vào N, ta được: \( N = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{4}\)

\( P = 1 + {\tan ^2}{60^o}\)

Ta có: \( \tan {60^o} = \sqrt 3 \)

Thay vào P, ta được: \( Q = 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4.\)

\( Q = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.\)

Ta có: \( \sin {120^o} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cot {120^o} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}\)

Thay vào P, ta được: \( Q = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} - \;{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}}} - \;\dfrac{1}{3} = \;\dfrac{4}{3} - \;\dfrac{1}{3} = 1.\)

Theo định lí cos ta có: \( {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A\)

\(  \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A\)(1)

Mặt khác, xét nửa đường tròn đường giác:

Nếu góc A tù thì \( \cos A < 0\)

Từ (1), suy ra \( {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A < 0\)

Hay \( {b^2} + {c^2} < {a^2}\)

Theo định lí cos ta có: \( {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A\)

\(  \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A\)(1)

Mặt khác, xét nửa đường tròn đường giác:

Ta có: \( \cos \alpha = a\) với a là hoành độ của điểm M.

Dễ dàng suy ra:

 Nếu góc A vuông thì \( \cos A = 0\)

Từ (1), suy ra \( {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A = 0\)

Hay \( {b^2} + {c^2} = {a^2}\)

Theo định lý cosin ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle A} \)\( = \sqrt {{4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {{60}^o}}  = 2\sqrt 7 \)

Theo định lý cosin ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos \angle B\)

\( \Rightarrow \cos \angle B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \angle B \approx {53^o}8'\)

Xét tam giác ABC ta có: \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^o} \Rightarrow \angle A = {180^o} - \angle B - \angle C = {45^o}\)

Theo định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin \angle A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin \angle A}} = \dfrac{4}{{2.\sin {{45}^o}}} = 2\sqrt 2 \)

\(p = \dfrac{{a + b + c}}{2} = \dfrac{{7 + 9 + 4}}{2} = 10\)

\( \Rightarrow S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\( = \sqrt {10.3.1.6}  = 6\sqrt 5 (c{m^2})\)

Sau 2 giờ tàu thứ nhất đi được \(AB = 30.2 = 60\)(km)

Sau 2 giờ tàu thứ hai đi được \(AC = 40.2 = 80\) (km)

Sau 2 giờ khoảng cách giữa hai tàu là

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle A}  = \sqrt {{{60}^2} + {{80}^2} - 2.60.80.\cos {{60}^o}}  = 20\sqrt {13} \,\,\left( {km} \right)\)