Hệ thức lượng trong tam giác

Áp dụng định lý hàm số sin cho $\Delta ABC$ ta có: $\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \dfrac{{10}}{{\sin 30^\circ }} = 2R \Rightarrow R = 10.$

Theo định lí sin, ta có: $\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = R$

$R = \dfrac{a}{{\sin A}}$ đúng

$R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}b$

Mà $\sin B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{b}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = b\sqrt 2$

Vậy B sai.

$R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}c$ (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

$R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a$ (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

Ta có:

Công thức tính diện tích là: $S = \dfrac{1}{2}ac.\sin B$

Mà $\widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Thay vào công thức tính diện tích, ta được:

$S = \dfrac{1}{2}ac.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.ac$

${a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$ (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$

Không đủ dữ kiện để suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.$

$\dfrac{b}{{\sin A}} = \dfrac{a}{{\sin B}}$ (Loại)

Theo định lí sin, ta có: $\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}$ 

$\sin B = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}$(sai vì theo câu a, $\sin B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$)

${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.$

Theo định lý cos ta có:

${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B$ (*)

Mà $\widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}$.

Thay vào (*) ta được: ${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\;\cos {135^o}$

Vậy D đúng.

+ $\sin A = \sin \,(B + C)$

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\ \Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\end{array}$

Vậy A đúng.

+ $\cos A = \cos \,(B + C)$

Sai vì $\cos \,(B + C) = - \cos A$(Do $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$)

+ $\;\cos A > 0$

Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu ${0^o} < \widehat A < {90^o}$ thì $\cos A > 0$

Nếu ${90^o} < \widehat A < {180^o}$ thì $\cos A < 0$

+ $\sin A\,\, \le 0$

Ta có $S = \dfrac{1}{2}bc.\sin A > 0$

Mà $b,c > 0$

$\Rightarrow \sin A > 0$

Vậy D sai.

A.$S = \dfrac{{abc}}{{4r}}$

Ta có: $S = \dfrac{{abc}}{{4R}}$. Mà $r < R$nên suy ra $S = \dfrac{{abc}}{{4R}} < \dfrac{{abc}}{{4r}}$

Vậy A sai.

B.$r = \dfrac{{2S}}{{a + b + c}}$

Ta có: $S = pr \Rightarrow r = \dfrac{S}{p}$

Mà$p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\;\; \Rightarrow r = \dfrac{S}{p}\; = \dfrac{S}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} = \dfrac{{2S}}{{a + b + c}}\;$

Vậy B đúng

C.${a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A$

Sai vì theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$

D.$S = r\,(a + b + c)$

Sai vì $S = pr = r.\dfrac{{a + b + c}}{2}$

Ta có: $R = \dfrac{a}{{\sin A}} \Rightarrow a = R.\sin A$

Mà $R = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3},\;\widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \;\widehat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}$

$\Rightarrow a = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}.\sin {75^o} \approx 11,154$

Theo định lí sin: $\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = R$

+) Ta có: $R = \dfrac{b}{{\sin B}}$

Mà $b = AC = 10,\;\;\widehat B = {60^o}$

$\Rightarrow R = \dfrac{{10}}{{\sin {{60}^o}}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}.$

Xét tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat B = {124^o};\widehat A = {30^o}\\ \Rightarrow \widehat C = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = {180^o} - \left( {{{124}^o} + {{30}^o}} \right) = {26^o}\end{array}$

Theo định lí sin, ta có

$\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{c}{{\sin C}} \Rightarrow a = \dfrac{{c.\sin A}}{{\sin C}}$

Mà $\left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\c = AB = 53\\\widehat A = {30^o};\widehat C = {26^o}\end{array} \right. \Rightarrow 30t = \dfrac{{53.\sin {{30}^o}}}{{\sin {{26}^o}}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 30t \approx 60,45\\ \Leftrightarrow t \approx 2\;(h)\end{array}$

Vậy sau khoảng 2 giờ thì tàu A đuổi kịp tàu B.

Gọi t (đơn vị: giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30km/h nên quãng đường BC = 30t

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50km/h nên quãng đường AC = 50t

Theo định lí sin, ta có: $\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin B}}$

Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\b = AC = 50t\\\widehat B = {124^o}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{30t}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{50t}}{{\sin {{124}^o}}}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{30t.\sin {{124}^o}}}{{50t}} = \dfrac{{30.\sin {{124}^o}}}{{50}} \approx 0,4974\end{array}$

$\Leftrightarrow \alpha \approx {30^o}$ hoặc $\alpha \approx {150^o}$(loại)

Vậy tàu A chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu B góc ${30^o}$.

$N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \dfrac{1}{2}.\sin {45^o}$

Ta có: $\sin {60^o} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cos {30^o} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\;\sin {45^o} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\;$

Thay vào N, ta được: $N = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{4}$

$P = 1 + {\tan ^2}{60^o}$

Ta có: $\tan {60^o} = \sqrt 3$

Thay vào P, ta được: $Q = 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4.$

$Q = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.$

Ta có: $\sin {120^o} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cot {120^o} = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}$

Thay vào P, ta được: $Q = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} - \;{\left( {\dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}}} - \;\dfrac{1}{3} = \;\dfrac{4}{3} - \;\dfrac{1}{3} = 1.$

Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$

$\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A$(1)

Mặt khác, xét nửa đường tròn đường giác:

Nếu góc A tù thì $\cos A < 0$

Từ (1), suy ra ${b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A < 0$

Hay ${b^2} + {c^2} < {a^2}$

Theo định lí cos ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A$

$\Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A$(1)

Mặt khác, xét nửa đường tròn đường giác:

Ta có: $\cos \alpha = a$ với a là hoành độ của điểm M.

Dễ dàng suy ra:

 Nếu góc A vuông thì $\cos A = 0$

Từ (1), suy ra ${b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\;\cos A = 0$

Hay ${b^2} + {c^2} = {a^2}$

Theo định lý cosin ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle A}$$= \sqrt {{4^2} + {6^2} - 2.4.6.\cos {{60}^o}}  = 2\sqrt 7$

Theo định lý cosin ta có: ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos \angle B$

$\Rightarrow \cos \angle B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \angle B \approx {53^o}8'$

Xét tam giác ABC ta có: $\angle A + \angle B + \angle C = {180^o} \Rightarrow \angle A = {180^o} - \angle B - \angle C = {45^o}$

Theo định lý sin ta có: $\dfrac{a}{{\sin \angle A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin \angle A}} = \dfrac{4}{{2.\sin {{45}^o}}} = 2\sqrt 2$

$p = \dfrac{{a + b + c}}{2} = \dfrac{{7 + 9 + 4}}{2} = 10$

$\Rightarrow S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$

$= \sqrt {10.3.1.6}  = 6\sqrt 5 (c{m^2})$

Sau 2 giờ tàu thứ nhất đi được $AB = 30.2 = 60$(km)

Sau 2 giờ tàu thứ hai đi được $AC = 40.2 = 80$ (km)

Sau 2 giờ khoảng cách giữa hai tàu là

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \angle A}  = \sqrt {{{60}^2} + {{80}^2} - 2.60.80.\cos {{60}^o}}  = 20\sqrt {13} \,\,\left( {km} \right)$