Đại cương về hàm số

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 5 \right) = \dfrac{{\sqrt {5 + 4}  - 1}}{{5 - 1}} = \dfrac{1}{2}\\f\left( { - 5} \right) = 3 - \left( { - 5} \right) = 8\end{array} \right.$ $\Rightarrow f\left( 5 \right) + f\left( { - 5} \right) = \dfrac{1}{2} + 8 = \dfrac{{17}}{2}.$

Điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3m + 1 \ge 0\\x + m - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3m - 1\\x > 5 - m\end{array} \right.$(1)

Trường hợp 1: $3m - 1 \ge 5 - m \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2}$(*)

Khi đó $(1) \Leftrightarrow x \ge 3m - 1$$\Rightarrow$TXĐ: $D = \left[ {3m - 1; + \infty } \right)$

Hàm số xác định trên $\left( {5;7} \right)$ khi và chỉ khi $\left( {5;7} \right) \subset \left[ {3m - 1; + \infty } \right)$.

$\Leftrightarrow 3m - 1 \le 5$$\Leftrightarrow m \le 2$. Kết hợp với (*)  ta được: $\dfrac{3}{2} \le m \le 2$.

Trường hợp 2: $3m - 1 < 5 - m \Leftrightarrow m < \dfrac{3}{2}$(**)

Khi đó $(1) \Leftrightarrow x > 5 - m$$\Rightarrow$TXĐ: $D = \left( {5 - m; + \infty } \right)$

Hàm số xác định trên $\left( {5;7} \right)$ khi và chỉ khi $\left( {5;7} \right) \subset \left( {5 - m; + \infty } \right)$.

$\Leftrightarrow 5 - m \le 5 \Leftrightarrow m \ge 0$. Kết hợp với (**)  ta được: $0 \le m < \dfrac{3}{2}$.

Kết hợp 2 trường hợp ta được $0 \le m \le 2$.

Gọi $\overrightarrow v \left( {a;b} \right)$ là vectơ tịnh tiến. $M\left( {x;y} \right) \in (P)$ tùy ý, $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của $M$ qua ${T_{\overrightarrow v }}$, khi đó:

$\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.$

$\overrightarrow v \left( {a;b} \right)$ là vectơ tịnh tiến biến $\left( P \right)$ thành $\left( {P'} \right)$ khi và chỉ khi $M' \in (P')$.

 $\Leftrightarrow {\left( {x + a} \right)^2} - 2\left( {x + a} \right) + 5 = y + b$

$\Leftrightarrow y = {x^2} + \left( {2a - 2} \right)x + {a^2} - 2a + 5 - b$

Mà ta có $M \in \left( P \right)$ nên $y = {x^2} + 5$. Đồng nhất hệ số ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}2a - 2 = 0\\{a^2} - 2a + 5 - b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\end{array} \right.$

Vậy $\overrightarrow v  = \left( {1; - 1} \right)$

Xét đáp án A, thay $x = 2$ và $y = 1$

vào hàm số $y = \dfrac{1}{{x - 1}}$ ta được $1 = \dfrac{1}{{2 - 1}}$: thỏa mãn.

Xét đáp án A, thay $x = 2$ và $y = 0$ vào hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{x}$ ta được $0 = \dfrac{{\sqrt {{2^2} - 4.2 + 4} }}{2}$: thỏa mãn.

Xét đáp án B, thay $x = 3$ và $y = \dfrac{1}{3}$ vào hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{x}$ ta được $\dfrac{1}{3} = \dfrac{{\sqrt {{3^2} - 4.3 + 4} }}{3}$: thỏa mãn.

Xét đáp án C, thay $x = 1$ và $y =  - 1$ vào hàm số

$y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{x}$ ta được $- 1 = \dfrac{{\sqrt {{1^2} - 4.1 + 4} }}{1} \Leftrightarrow  - 1 = 1$: không thỏa mãn.

Ta có · $f\left( { - 1} \right) = \left| { - 5.\left( { - 1} \right)} \right| = \left| 5 \right| = 5 \Rightarrow$A đúng.

$f\left( 2 \right) = \left| { - 5.2} \right| = \left| { - 10} \right| = 10 \Rightarrow$B đúng.

$f\left( { - 2} \right) = \left| { - 5.\left( { - 2} \right)} \right| = \left| {10} \right| = 10 \Rightarrow$C đúng.

$f\left( {\dfrac{1}{5}} \right) = \left| { - 5.\dfrac{1}{5}} \right| = \left| { - 1} \right| = 1 \Rightarrow$D sai. 

Hàm số xác định khi $2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.

Vậy tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Hàm số xác định khi ${x^3} - 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) \ne 0$

      $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\{x^2} + x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 2\end{array} \right..$

Vậy tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} \right\}$

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \ge  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge  - 2$.

Vậy tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ { - 2; + \infty } \right)$.

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 \ge 0\\4 - 3x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{2}{3}\\x < \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} \le x < \dfrac{4}{3}.$

Vậy tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$.

Hàm số xác định khi $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2 - x \ne 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \le 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 2\end{array} \right.\\x < 1\end{array} \right.$.

Vậy xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Hàm số xác định khi $\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x + 1 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \ge  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ { - 1; + \infty } \right)$.

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x - m + 1 \ge 0\\ - x + 2m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m - 1\\x < 2m\end{array} \right..$

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m - 1;2m} \right)$ với điều kiện $m - 1 < 2m \Leftrightarrow m >  - 1.$

Hàm số đã cho xác định trên $\left( { - 1;3} \right)$ khi và chỉ khi $\left( { - 1;3} \right) \subset \left[ {m - 1;2m} \right)$

$\Leftrightarrow m - 1 \le  - 1 < 3 \le 2m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset .$

Hàm số xác định khi $x - m \ne 0 \Leftrightarrow x \ne m.$

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.

Hàm số xác định trên $\left( { - 1;0} \right)$ khi và chỉ khi $m \notin \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le  - 1\end{array} \right.$.

Hàm số xác định khi $x - m \ne 0 \Leftrightarrow x \ne m.$

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$.

Hàm số xác định trên $\left( { - 1;0} \right)$ khi và chỉ khi $m \notin \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 0\\m \le  - 1\end{array} \right.$.

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x - m + 2 \ge 0\\\sqrt {x - m + 2}  - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m - 2\\x \ne m - 1\end{array} \right.$.

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {m - 1} \right\}$.

Hàm số xác định trên $\left( {0;1} \right)$ khi và chỉ khi $\left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {m - 1} \right\}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 \le 0 < 1 \le m - 1\\m - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\m \ge 2\end{array} \right.\\m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m \le 1\end{array} \right.$.

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x - m \ge 0\\2x - m - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\x \ge \dfrac{{m + 1}}{2}\end{array} \right. \left(  *  \right)$.

TH1: Nếu $m \ge \dfrac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow m \ge 1$ thì $\left(  *  \right) \Leftrightarrow x \ge m$.

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m; + \infty } \right)$.

Khi đó, hàm số xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $\left( {0; + \infty } \right) \subset \left[ {m; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le 0$

$\Rightarrow$ Không thỏa mãn điều kiện $m \ge 1$.

TH2: Nếu $m \le \dfrac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow m \le 1$ thì $\left(  *  \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{m + 1}}{2}$.

$\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{2}; + \infty } \right)$.

Khi đó, hàm số xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $\left( {0; + \infty } \right) \subset \left[ {\dfrac{{m + 1}}{2}; + \infty } \right)$ $\Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{2} \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 1$

$\Rightarrow$ Thỏa mãn điều kiện $m \le 1$.  Vậy $m \le  - 1$ thỏa yêu cầu bài toán.

Hàm số xác định khi ${x^2} - 6x + m - 2 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + m - 11 > 0$.

Hàm số xác định với $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + m - 11 > 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m - 11 > 0 \Leftrightarrow m > 11$.

Trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ và $\left( {1;3} \right)$ đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải

$\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ và $\left( {1;3} \right).$

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên các đáp án A, B, C đều đúng.

Đáp án D sai vì không có khái niệm hàm số đồng biến tại một điểm.