Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {x - m}  + \sqrt {2x - m - 1} \) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - m \ge 0\\2x - m - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m\\x \ge \dfrac{{m + 1}}{2}\end{array} \right. \left(  *  \right)\).

TH1: Nếu \(m \ge \dfrac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow m \ge 1\) thì \(\left(  *  \right) \Leftrightarrow x \ge m\).

\( \Rightarrow \) Tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = \left[ {m; + \infty } \right)\).

Khi đó, hàm số xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(\left( {0; + \infty } \right) \subset \left[ {m; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le 0\)

\( \Rightarrow \) Không thỏa mãn điều kiện \(m \ge 1\).

TH2: Nếu \(m \le \dfrac{{m + 1}}{2} \Leftrightarrow m \le 1\) thì \(\left(  *  \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{m + 1}}{2}\).

\( \Rightarrow \) Tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{2}; + \infty } \right)\).

Khi đó, hàm số xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi \(\left( {0; + \infty } \right) \subset \left[ {\dfrac{{m + 1}}{2}; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{2} \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 1\)

\( \Rightarrow \) Thỏa mãn điều kiện \(m \le 1\).  Vậy \(m \le  - 1\) thỏa yêu cầu bài toán.