Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \(y = \sqrt {x - 3m + 1}  + \dfrac{x}{{\sqrt {x + m - 5} }}\) xác định trên \(\left( {5;7} \right)\).

Điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3m + 1 \ge 0\\x + m - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3m - 1\\x > 5 - m\end{array} \right.\)(1)

Trường hợp 1: \(3m - 1 \ge 5 - m \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2}\)(*)

Khi đó \((1) \Leftrightarrow x \ge 3m - 1\)\( \Rightarrow \)TXĐ: \(D = \left[ {3m - 1; + \infty } \right)\)

Hàm số xác định trên \(\left( {5;7} \right)\) khi và chỉ khi \(\left( {5;7} \right) \subset \left[ {3m - 1; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow 3m - 1 \le 5\)\( \Leftrightarrow m \le 2\). Kết hợp với (*)  ta được: \(\dfrac{3}{2} \le m \le 2\).

Trường hợp 2: \(3m - 1 < 5 - m \Leftrightarrow m < \dfrac{3}{2}\)(**)

Khi đó \((1) \Leftrightarrow x > 5 - m\)\( \Rightarrow \)TXĐ: \(D = \left( {5 - m; + \infty } \right)\)

Hàm số xác định trên \(\left( {5;7} \right)\) khi và chỉ khi \(\left( {5;7} \right) \subset \left( {5 - m; + \infty } \right)\).

\( \Leftrightarrow 5 - m \le 5 \Leftrightarrow m \ge 0\). Kết hợp với (**)  ta được: \(0 \le m < \dfrac{3}{2}\).

Kết hợp 2 trường hợp ta được \(0 \le m \le 2\).