Một số bài toán về đồ thị hàm số bậc nhất

Nếu $x \ge 0$ thì $\left| x \right| = x$ nên $x + \left| x \right| = x + x = 2x$.

Nếu $x < 0$ thì $\left| x \right| =  - x$ nên $x + \left| x \right| = x + \left( { - x} \right) = 0$.

$y = x + \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}2x\,\,\,khi\,\,\,x \ge 0\\0\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x < 0\end{array} \right.$.

Đồ thị đi xuống từ trái sang phải $\Rightarrow$ hệ số góc $a < 0.$ Loại A, C.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;1} \right).$

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2x - 1$ với trục hoành là $\left( {\dfrac{1}{2};0} \right).$ Loại B.

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2x - 1$ với trục tung là $\left( {0; - 1} \right).$Chỉ có A thỏa mãn.

Xét $y = f\left( x \right) =  - \dfrac{{2x}}{3} + \dfrac{1}{2}$

Cho $y = 0 \Rightarrow 0 =  - \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = 3$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm $\left( {3;0} \right)$

Ta có: $1 =  - \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} + 1$ (vô lý) $\Rightarrow A\left( {\dfrac{1}{2};1} \right) \notin d$

Ta có: $a =  - \dfrac{2}{3} < 0 \Rightarrow$ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên R.

Ta có $5 = 2.3 - 1 \Rightarrow$ Điểm $\left( {2;5} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = 3x - 1$.

Thay điểm M vào phương trình đường thẳng ta có: $3 = a - 1 \Leftrightarrow a = 4$.

${\Delta _1}:\,x - 27y + 2018 = 0$$\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{27}x+\dfrac{2018}{27}$

$\,{\Delta _2}: - 3x + 6y - 20 = 0$$\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{10}{3}$

Ta có: $\dfrac{1}{{27}} \ne \dfrac{{1}}{2} \Rightarrow {\Delta _1}$ cắt $\,{\Delta _2}$.

Mặt khác: $\dfrac{1}{{27}}.\dfrac{{1}}{2}\ne -1 \Rightarrow {\Delta _1}$ không vuông góc$\,{\Delta _2}$.

Vậy ${\Delta _1}$ và$\,{\Delta _2}$ cắt nhau nhưng không vuông góc.

Ta có: ${d_1}:\,\,y = x + 100;\,\,\,{d_2}:\,\,y = \dfrac{1}{2}x + 100$ có: ${a_1} = 1 \ne {a_2} = \dfrac{1}{2}$ và ${a_1}.{a_2} = 1.\dfrac{1}{2} \ne 1 \Rightarrow {d_1},\,\,{d_2}$ cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau.

Ta có: $y = \left| {x + 2} \right| - 4x$.

+) Nếu $x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 2$ thì $y = x + 2 - 4x =  - 3x + 2$.

+) Nếu $x + 2 < 0 \Leftrightarrow x <  - 2$ thì $y =  - x - 2 - 4x =  - 5x - 2$.

Vậy $y = \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge  - 2\\ - 5x - 2\,\,\,\,khi\,\,\,x <  - 2\end{array} \right.$.

Ta có bảng:

Từ bảng trên ta có kết luận: $y = \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \le  - 1\\4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\, - 1 < x \le 3\\2x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x > 3\end{array} \right.$

- Ta có: $y = \left| {2x - 4} \right| = \left\{ \begin{array}{l}2x - 4\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 2\\ - 2x + 4\,khi\,x < 2\end{array} \right.$

- Hàm số $y = 2x - 4$ luôn đồng biến và $y =  - 2x + 4$ luôn nghịch biến nên ta có:

Bảng biến thiên:

- Ta có: $y = \left| x \right| + 2 = \left\{ \begin{array}{l}x + 2\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 0\\ - x + 2\,khi\,\,\,x < 0\end{array} \right.$

- Hàm số $y = x + 2$ luôn đồng biến và hàm số $y =  - x + 2$ luôn nghịch biến nên ta có:

Bảng biến thiên:

Gọi hàm số $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$.

Điểm $A\left( {1;0} \right),B\left( {0; - 2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số

$\Leftrightarrow$ tọa độ của chúng thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0 = a.1 + b\\ - 2 = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2\\a = 2\end{array} \right. \Rightarrow y = 2x - 2$.

Điểm $A\left( {1;0} \right),B\left( {0; - 1} \right)$ thuộc đồ thị hàm số

$\Leftrightarrow$ tọa độ của chúng thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0 = a.1 + b\\ - 1 = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 1\\a = 1\end{array} \right. \Rightarrow y = x - 1$.

Điểm $A\left( {3;0} \right),B\left( {0;3} \right)$ thuộc đồ thị hàm số

$\Leftrightarrow$ tọa độ của chúng thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0 = a.3 + b\\3 = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow y =  - x + 3$.

Ta có đồ thị hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}2x\text{         khi        }x \ge 1\\x + 1\text{         khi        }x < 1\end{array} \right.$ như sau:

- Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A\left( { - 2;1} \right)$ và $B\left( {2;1} \right)$.

- Thay tọa độ $A$ vào đáp án A ta được: $1 = \left| { - 2} \right|$ (loại).

- Thay tọa độ $A$ vào đáp án B ta được:  $1 = \left| {2.\left( { - 2} \right)} \right|$ (loại).

- Thay tọa độ $A$ và $B$ vào đáp án C ta được: $1 = \left| {\dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right)} \right|$ và $1 = \left| {\dfrac{1}{2}.2} \right|$ nên C thỏa mãn.

- Thay tọa độ $A$ vào đáp án D ta được: $1 = \left| {3 - \left( { - 2} \right)} \right|$ (loại).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm $A\left( {0;1} \right),B\left( {1;0} \right),C\left( {2;1} \right)$.

- Ta thấy:

+) Tọa độ $B$ không thỏa đáp án A vì $0 \ne \left| {1 + 1} \right|$, loại A.

+) Tọa độ cả ba điểm $A,B,C$ đều thỏa B nên B thỏa mãn.

+) Tọa độ $B$ không thỏa mãn C vì $0 \ne \left| 1 \right| + 1$, loại C.

+) Tọa độ $A$ không thỏa mãn D vì $1 \ne \left| 0 \right| - 1$, loại D.

- Ta có: $y = \left| {x - 5} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 5\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 5\\ - x + 5\,\,khi\,\,x < 5\end{array} \right.$.

- Vẽ đồ thị hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}x - 5\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 5\\ - x + 5\,\,khi\,\,x < 5\end{array} \right.$.

+ Vẽ hai đường thẳng $y = x - 5$ và $y =  - x + 5$ trên cũng một hệ trục tọa độ.

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải đường thẳng $x = 5$ của đồ thị hàm số $y = x - 5$ và xóa phần bên trái.

+  Giữ nguyên phần đồ thị bên trái đường thẳng $x = 5$ của đồ thị hàm số $y =  - x + 5$ và xóa phần bên phải.

Từ đó ta có đồ thị hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}x - 5\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 5\\ - x + 5\,\,khi\,\,x < 5\end{array} \right.$ là:

- Ta có: $y = x + \left| {x + 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ge  - 1\\ - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x <  - 1\end{array} \right.$

- Vẽ đồ thị hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l}2x + 1\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \ge  - 1\\ - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x <  - 1\end{array} \right.$

+ Vẽ đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ và $y =  - 1$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

+ Giữ nguyên phần đồ thị $y = 2x + 1$ bên phải đường thẳng $x =  - 1$ và xóa phần bên trái.

+ Giữ nguyên phần đồ thị $y =  - 1$ bên trái đường thẳng $x =  - 1$ và xóa phần bên phải.

Khi đó ta có đồ thị sau: