Tổng của hai véc tơ

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\\\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} \end{array}\)

Ta có M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {MB} \)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {AC} \\ = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Xét các đáp án:

+) Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  \ne \overrightarrow {BC} \) (với \(D\) là điểm thỏa mãn \(ABDC\) là hình bình hành). Vậy A sai.

+) Đáp án B. Ta có \(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {NP} \). Vậy B đúng.

+) Đáp án C. Ta có \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {BA}  =  - \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right) =  - \overrightarrow {AD}  \ne \overrightarrow {CB} \) (với \(D\) là điểm thỏa mãn \(ABDC\) là hình bình hành). Vậy C sai.

+) Đáp án D. Ta có \(\overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {BB}  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow 0  \ne \overrightarrow {AB} \). Vậy D sai.

Với ba điểm phân biệt \(A,\;B,\;C\) nằm trên một đường thẳng, đẳng thức \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| + \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\) \( \Leftrightarrow AB + BC = AC\) xảy ra khi \(B\) nằm giữa \(A\) và \(C\).

Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

Với mỗi điểm \(M\) bất kì và \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \) hay \(\overrightarrow {MI}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right).\)

\(I\) là trung điểm của \(AB\) nếu \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

Xét các đáp án:

- Đáp án A. Ta có \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \) (theo quy tắc ba điểm).

- Đáp án B, C. Ta có \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {CA} \)

(với điểm \(N\) là trung điểm của \(AB\)).

- Đáp án D. Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \).

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Ta có \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AM = \dfrac{1}{2}BC.\) và \(BC = a\sqrt 2 \).

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = BC = a\sqrt 2 .\)

Ta có \(\left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB\)\( = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AM \bot BC.\)

Trong tam giác vuông \(AMB\), ta có \(AM = AB.\sin \widehat {ABM} = a.\sin {30^0} = \dfrac{a}{2}.\)

Ta có \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AM} } \right| = 2AM = a.\)

Ta có \(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RN}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {QR} \)\( = \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {QR}  + \overrightarrow {RN} \)\( = \overrightarrow {MN} \)

Dựng hình bình hành \(GBDC\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).

Khi đó ta có \(\left| {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {GD} } \right| = GD = 2GM\)\( = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{1}{3}.24 = 8\)

Gọi \(O = AC \cap BD\) và \(M\) là trung điểm của \(CD\).

Ta có \(\left| {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right| = 2\left| {2\overrightarrow {OM} } \right| = 4OM\)

\( = 4.\dfrac{1}{2}CD = 2\sqrt {O{D^2} + O{C^2}}  = 2\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + {a^2}}  = a\sqrt 5 .\)

Vì \(ANPM\)là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có:\(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MN} \).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có \(\left| {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 2OM = AB = a.\)

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {EF} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BO}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow 0  \ne \overrightarrow {AD} \) nên D sai.

Ta có \(AB = \sqrt 2  \Rightarrow AC = CB = 1.\)

Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\) \( \Rightarrow AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Khi đó: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AI} \)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AI} } \right| = 2.\dfrac{{\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MI} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {MI} \)\( \Rightarrow M\) là trung điểm \(AC.\)

Ta có \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} \) nên \(MABC\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {CB} \)

Do đó D sai.