Tổng của hai véc tơ

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right|\)\( = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = a\).

Vì I là trung điểm của AM nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IM}  = \overrightarrow 0 \).

Mà M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {IM} \).

Do đó \(\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  =  - 2\overrightarrow {IA} \) hay \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB}\ne \overrightarrow {BI} \) nên A sai.

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}\ne \overrightarrow {BD}\) nên B sai.

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  =\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}= \vec 0\) nên C đúng.

Nếu \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)thì \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0\).

Vì \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {BA}  \ne \vec 0\) nên A sai.

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {BO}  = \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \).

Dựng hình bình hành \(ABDC\) và gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 2AM$

Trong tam giác đều \(ABC\) có \(AM\) là trung tuyến cũng là đường cao nên \(AM \bot BC,MB = MC = \dfrac{a}{2}\)

Ta có:

\(A{M^2} + M{B^2} = A{B^2}\) \( \Leftrightarrow A{M^2} + {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\) \( \Leftrightarrow A{M^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\) \( \Leftrightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy \(AD = 2AM = 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\)

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) \( = {\left( {4a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} = {\left( {5a} \right)^2}\) \( \Rightarrow AC = 5a\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = 5a\)

Ta có:

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {FA}  = \overrightarrow 0 $

Dựng hình bình hành \(GBDC\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\).

Tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\) nên \(AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.12 = 6\)

\( \Rightarrow GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.6 = 2\) \( \Rightarrow GD = 2GM = 2.2 = 4\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {GD} } \right| = GD = 4\)

Do \(AB = AD\) và \(\widehat A = {60^0}\) nên tam giác \(ABD\) đều.

Do đó $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vì $ANPM$ là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AP} $

Dựng hình bình hành \(OAEB\) và gọi \(M\) là giao điểm của \(AB\) và \(OE\).

Ta có: $\left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = 2OM = a$

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {FE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BO}  + \overrightarrow {FE}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {AD}  \ne \overrightarrow 0 $.

Dựng hình bình hành \(ABCD\) tâm \(E\)

Ta có: \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = 2EB = 2\sqrt {A{E^2} + A{B^2}}  = 2\sqrt {13} \)

$\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AM} $

Vậy \(M\) là điểm sao cho tứ giác \(BAMC\)là hình bình hành.

Dựng hình bình hành \(OBFC\) tâm \(E\). Khi đó

$\left| {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {OF} } \right| = OF = 2OE = AB + CD = 3a$.

Dựng hình bình hành \(ABDC\) tâm \(E\). Ta có\(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 2AE = a\sqrt 3 \)

$\sqrt 3 \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt 3 \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \sqrt 3 CB = \sqrt 3 a$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 3 \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA} } \right|$.

Dựng hình bình hành \(ABEC\) tâm \(F\).

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AE = 2AF = 2\sqrt {A{B^2} + B{F^2}}  = 2\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = a\sqrt 5 \).