Bất phương trình bậc hai

Ta có $-{x^2} + 6x + 7\; = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x =  - 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $-{x^2} + 6x + 7\; \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 7.$

Ta có: ${x^2} - 9 < 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) < 0$ $\Leftrightarrow  - 3 < x < 3$

Tập nghiệm của $\left( 1 \right)$ là ${S_1} = \left( { - 3;3} \right).$

Xét tam thức $f\left( x \right) = 3{x^2} + 7x + 5$ có $\Delta  =  - 11 < 0$ nên $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Khi đó $(x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \ge 0$ $\Leftrightarrow x - 1 \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 1$.

Tập nghiệm của $\left( 2 \right)$ là ${S_2} = \left[ {1; + \infty } \right)$.

Vậy tập nghiệm của hệ là $S = {S_1} \cap {S_2} = \left[ {1;3} \right).$

• Nếu $x \ge - 1$ thì $\dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left| {x + 1} \right| - 2x}} \le  - 2{x^2} + x + 1$$\Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{1 - x}} \le  - 2{x^2} + x + 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1 - \left( {1 - x} \right)\left( { - 2{x^2} + x + 1} \right)}}{{1 - x}} \le 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1 - \left( { - 2{x^2} + x + 1 + 2{x^3} - {x^2} - x} \right)}}{{1 - x}} \le 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{ - 2{x^3} + 5{x^2} - x}}{{1 - x}} \le 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{x\left( { - 2{x^2} + 5x - 1} \right)}}{{1 - x}} \le 0$

Cho $x = 0$; $- 2{x^2} + 5x - 1 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{4}\\x = \dfrac{{5 - \sqrt {17} }}{4}\end{array} \right.$; $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Lập bảng xét dấu ta có: $0 \le x \le \dfrac{{5 - \sqrt {17} }}{4} \vee 1 < x \le \dfrac{{5 + \sqrt {17} }}{4}$.

Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là $0;2$

• Nếu $x < - 1$ thì $\dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left| {x + 1} \right| - 2x}} \le  - 2{x^2} + x + 1$$\Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1}}{{ - 1 - 3x}} \le  - 2{x^2} + x + 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1 - \left( { - 1 - 3x} \right)\left( { - 2{x^2} + x + 1} \right)}}{{ - 1 - 3x}} \le 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - x - 1 - \left( {2{x^2} - x - 1 + 6{x^3} - 3{x^2} - 3x} \right)}}{{ - 1 - 3x}} \le 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{ - 6{x^3} + {x^2} + 3x}}{{ - 1 - 3x}} \le 0$$\Leftrightarrow \dfrac{{x\left( { - 6{x^2} + x + 3} \right)}}{{ - 1 - 3x}} \le 0$

Cho $x = 0$ ; $- 6{x^2} + x + 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + \sqrt {73} }}{{12}}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {73} }}{{12}}\end{array} \right.$; $- 3x - 1 = 0$$\Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{3}$

Lập bảng xét dấu ta có: $\dfrac{{1 - \sqrt {73} }}{{12}} \le x <  - \dfrac{1}{3} \vee 0 \le x \le \dfrac{{1 + \sqrt {73} }}{{12}}$.

Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là $0$(loại)

Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên.

Ta có $\left| {{x^2} + x + a} \right| + \left| {{x^2} - x + a} \right| \le 2x$ $\Leftrightarrow \left| {{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \left( {a - \dfrac{1}{4}} \right)} \right| + \left| {{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \left( {a - \dfrac{1}{4}} \right)} \right| \le 2x$

Do vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng $0$ nên để BPT có nghiệm thì $2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$ nên B đúng.

Nếu $a > \dfrac{1}{4}$ thì BPT $\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 2a \le 0$ vô nghiệm hay BPT có nghiệm khi $a \le \dfrac{1}{4}$  nên A đúng.

Khi $a < 0$ ta có ${x^2} + x + a = 0,{x^2} - x + a = 0$ có 4 nghiệm xếp thứ tự ${x_1} < {x_2} < {x_3} < {x_4}$

Với $x > {x_4}$ hoặc $x < {x_1}$ ta có BPT: $2{x^2} - 2x + 2a \le 0$

Có nghiệm ${x_1} < x < {x_2}$ và ${x_1} + {x_2} = 1;{x_1}{x_2} < 0$

Nên tồn tại nghiệm lớn hơn 1 vậy C đúng

Bất phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 3 < x < 4.$ Suy ra ${S_1} = \left( { - 3;4} \right)$.

Bất phương trình có ${S_2} = \left( { - \infty ;m - 1} \right).$

Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi ${S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset$ $\Leftrightarrow m - 1 >  - 3 \Leftrightarrow m >  - 2.$

Để phương trình $\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} + 4m - 5 = 0$ có có đúng hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thoả $2 < {x_1} < {x_2}$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\m + 1 \ne 0\\{x_2} > {x_1} > 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} + 4m - 5} \right) > 0\\m \ne  - 1\\\left( {{x_1} - 2} \right) + \left( {{x_2} - 2} \right) > 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.$.

Theo Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{{{m^2} + 4m - 5}}{{m + 1}}\end{array} \right.$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( { - {m^2} - 5m - 6} \right) > 0\\m \ne  - 1\\\dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}} - 4 > 0\\\dfrac{{{m^2} + 4m - 5}}{{m + 1}} - 2.\dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}} + 4 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l} - 2 < m < 1\\m <  - 3\end{array} \right.\\m \ne  - 1\\ - 3 < m <  - 1\\m >  - 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow  - 2 < m <  - 1$.

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1 \le 0\\{x^2} - 6x + 5 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 1 \le 0(1)\\1 \le x \le 5(2)\end{array} \right.$

${S_2} = \left[ {1;5} \right]$ là tập nghiệm của (2)

Ta có ${\Delta _{(1)}}' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} - 1 = 2m$

(1) có nghiệm $\Leftrightarrow {\Delta _{(1)}}' \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 0$

Khi đó (1)$\Leftrightarrow m + 1 - \sqrt {2m}  \le x \le m + 1 + \sqrt {2m}$$\Rightarrow {S_1} = \left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]$ là tập nghiệm của (1).

$\Rightarrow S = {S_1} \cap {S_2}$ là tập nghiệm của hệ.

$\Rightarrow S \subset {S_1}$ và $S \subset {S_2}$.

Mà S là đoạn có độ dài bằng $\dfrac{3}{2}$ nên ta chỉ cần  xét 2 trường hợp: trường hợp ${S_1}$ có độ dài lớn hơn $\dfrac{3}{2}$ và trường hợp đoạn ${S_1}$ có độ dài bằng $\dfrac{3}{2}$.

Trường hợp 1: Đoạn $\left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]$ có độ dài lớn hơn $\dfrac{3}{2}$. Tức là,

$\begin{array}{l}\left( {m + 1 + \sqrt {2m} } \right) - \left( {m + 1 - \sqrt {2m} } \right) > \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {2m}  > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{{32}}\end{array}$

Khi đó $S = {S_1} \cap {S_2}$ chỉ có thể là $\left[ {1;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]$ hoặc $\left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;5} \right]$.

$+ )S = \left[ {1;m + 1 + \sqrt {2m} } \right] \Leftrightarrow m + 1 + \sqrt {2m}  - 1 = \dfrac{3}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow m + \sqrt {2m}  - \dfrac{3}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2m + 2\sqrt {2m}  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m}  = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}(TM)\end{array}$

$+ )S = \left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;5} \right]$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5 - m - 1 + \sqrt {2m}  = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow m - \sqrt {2m}  - \dfrac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2m - 2\sqrt {2m}  - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2m}  = 1 + \sqrt 6 \\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{7 + 2\sqrt 6 }}{2}(TM)\end{array}$

Trường hợp 2: Đoạn $\left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]$ có độ dài có độ dài bằng  $\dfrac{3}{2}$. Tức là, $S = \left[ {m + 1 - \sqrt {2m} ;m + 1 + \sqrt {2m} } \right]$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 1 + \sqrt {2m} } \right) - \left( {m + 1 - \sqrt {2m} } \right) = \dfrac{3}{2}\\m + 1 - \sqrt {2m}  \ge 1\\m + 1 + \sqrt {2m}  \le 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {2m}  = \dfrac{3}{2}\\m + 1 - \sqrt {2m}  \ge 1\\m + 1 + \sqrt {2m}  \le 5\end{array} \right.\end{array}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{9}{{32}}\\m + 1 - \sqrt {2m}  \ge 1\\m + 1 + \sqrt {2m}  \le 5\end{array} \right.$  (Loại)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 6x + 5 > 0\\{x^2} + x - 6 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right) > 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x >  - 1\\x <  - 5\end{array} \right.\\ - 3 < x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x < 2.$

TH1: $2{x^2} - 3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 5a - 8x - {x^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 5x - 2 = 5a\end{array}$

TH2: $2{x^2} - 3x - 2 < 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} < x < 2$

Khi đó

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 3x + 2 = 5a - 8x - {x^2}\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 11x + 2 = 5a\end{array}$

Suy ra $5a = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 5x - 2\,khi\,x \ge 2\,hoac\,x \le  - \dfrac{1}{2}\\ - {x^2} + 11x + 2\,khi\, - \dfrac{1}{2} < x < 2\end{array} \right.$

Xét hàm $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 5x - 2\,khi\,x \ge 2\,hoac\,x \le  - \dfrac{1}{2}\\ - {x^2} + 11x + 2\,khi\, - \dfrac{1}{2} < x < 2\end{array} \right.$ ta có:

Với $x \in \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$ thì $f\left( x \right) = 3{x^2} + 5x - 2$ có:

$- \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{5}{6}$ và $a = 3 > 0$ nên hàm số đống biến trên $\left( { - \dfrac{5}{6}; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right)$.

Kết hợp với tập đang xét $x \in \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$ ta được hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \dfrac{5}{6}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, hàm số nghịch biên trên $\left( { - \infty ; - \dfrac{5}{6}} \right)$.

Với $x \in \left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)$ thì $f\left( x \right) =  - {x^2} + 11x + 2$ có:

$- \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{11}}{2}$ và $a =  - 1 < 0$ nên hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\dfrac{{11}}{2}} \right)$ và nghịch biến trên $\left( {\dfrac{{11}}{2}; + \infty } \right)$

Kết hợp với khoảng đang xét $\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)$ ta được hàm số đồng biến trên $\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (1) có nghiệp duy nhất $5a =  - \dfrac{{49}}{{12}} \Leftrightarrow a = -\dfrac{{ 49}}{{60}}$.

TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ { - \dfrac{4}{3}; + \infty } \right)$

TH1: $x - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1$. Kết hợp với điều kiện ta được $x \in \left( { - \infty ; - 5} \right]$

TH2:

$\begin{array}{l}\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3x + 4} \right)}  > 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\3{x^2} + 19x + 20 > 16\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\13{x^2} - 51x - 4 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\ - \dfrac{1}{{13}} < x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < 4\end{array}$

$S = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup {\rm{[}}1;4)$

Vậy có 6 nghiệm nguyên lớn hơn -8 là :-7;-6;-5;1;2;3.

Xét $\left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right) + m = 0 \left( 1 \right)$

Với $x \ge 2$, ta có:  $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) + m = 0$ $\Leftrightarrow m =  - {x^2} + x + 2$

Với $x < 2$, ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) + m = 0$ $\Leftrightarrow m = {x^2} - x - 2$

Đặt $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + x + 2{\rm{ }} & {\rm{khi }}x \ge 2\\{x^2} - x - 2{\rm{ }} & {\rm{khi }}x < 2\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có $- \dfrac{9}{4} < m < 0$.

Điều kiện xác định: $x \ne  - 1,x \ne  - 2.$

$\begin{array}{l}\dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} > \dfrac{{x + 4}}{{x + 2}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x + 1}} - \dfrac{{x + 4}}{{x + 2}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - x - 6 - {x^2} - 5x - 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6x - 10}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 5}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} < 0\end{array}$

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào BXD ta thấy bất phương trình có tập nghiệm là: $S = \left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( { - \dfrac{5}{3}; - 1} \right).$

Đặt $t =  - {x^2} + 4x$ với $x \in \left( {0;3} \right)$

Bảng biến thiên:

Suy ra $0 < t \le 4.$

Khi đó, bất phương trình trở thành:

$f\left( t \right) > m\,\,\left( 1 \right)$

Vẽ đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y = f\left( t \right)$ ứng với $t \in \left( {0;4} \right]$.

Bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $\left( {0;4} \right]$$\Leftrightarrow$ phần đồ thị của hàm số $y = f\left( t \right)$ với $t \in \left( {0;4} \right]$ nằm phía trên đường thẳng $d:y = m$$\Leftrightarrow m < 8.$

Vậy số các giá trị nguyên dương của tham số $m$ là $7.$

${x^2} + 5x - 6 \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) \Leftrightarrow 0 \Leftrightarrow  - 6 \le x \le 1$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $\left[ { - 6;1} \right].$

${x^2} + 5x - 6 \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 6} \right) \Leftrightarrow 0 \Leftrightarrow  - 6 \le x \le 1$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $\left[ { - 6;1} \right].$

$\left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 5x - 4 \ge 0\\{x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) \le 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - m} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - m} \right) \le 0\end{array} \right.\,\,\left( I \right)$

+) Nếu $x - m \ge x + 1 \Leftrightarrow m \le  - 1$ thì $\left( I \right) \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\x + 1 \le 0\\x - m \ge 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\m \le x \le  - 1\end{array} \right.,$ hệ vô nghiệm.

+) Nếu $x - m < x + 1 \Leftrightarrow m >  - 1$ thì $\left( I \right) \Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\x + 1 \ge 0\\x - m \le 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 4\\ - 1 \le x \le m\end{array} \right..$

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m = 1.$

$(x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) \le 0$

Đặt $f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 7x + 4} \right)$ .

Xét phương trình : $3{x^2} + 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \dfrac{4}{3}\end{array} \right..$    Ta có bảng:

Vậy $f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \dfrac{4}{3}} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]$

$\dfrac{{2x + 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \ge 0$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Đặt  $f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}}$ . Ta có bảng:

Vậy $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$

$\left| {{x^2} + 3x - 4} \right| < x - 8$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 8 > 0\\8 - x < {x^2} + 3x - 4\\{x^2} + 3x - 4 < x - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 8\\{x^2} + 4x - 12 > 0\\{x^2} + 2x + 4 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 8\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 6} \right) > 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 3 < 0\,\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.$

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt {{x^2} - 4x - 21}  \le x - 3 \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 21 \ge 0\\x - 3 \ge 0\\{x^2} - 4x - 21 \le {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {x - 7} \right) \ge 0\\x \ge 3\\2x \le 30\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le  - 3\\x \ge 7\end{array} \right.\\x \ge 3\\x \le 15\end{array} \right. \Leftrightarrow 7 \le x \le 15\end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT là: $S = \left[ {7;15} \right].$