Bất phương trình bậc hai

Điều kiện xác định: $x \le 2.$

$\left( {4 - {x^2}} \right)\sqrt {2 - x}  < 0 \Leftrightarrow \left( {2 + x} \right)\left( {2 - x} \right)\sqrt {2 - x}  < 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2 + x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - 2.$

ĐKXĐ: $- 2 \le x \le 4$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^2} + m + 4\sqrt {(x + 2)(4 - x)}  \ge 2x + 18\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 2x + 8 - 4\sqrt { - {x^2} + 2x + 8}  + 10 \le m\end{array}$

Đặt  $\sqrt { - {x^2} + 2x + 8}  = t\,\,\,\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)$

Ta có: $- {x^2} + 2x + 8 =  - {\left( {x - 1} \right)^2} + 9 \le 9$ với mọi $x \in \left[ { - 2;4} \right]$

$\Rightarrow 0 \le t \le 3$

Đề bài trở thành: Tìm m để bất phương trình ${t^2} - 4t + 10 \le m$ có nghiệm thuộc $\left[ {0;3} \right]$

 $\Leftrightarrow m \ge \mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,3} \right]} \left( {{t^2} - 4t + 10} \right)$

Xét $f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 10$ ta có bảng biến thiên

Vậy để bất phương trình ${t^2} - 4t + 10 \le m$ có nghiệm thuộc $\left[ {0;3} \right]$ $\Leftrightarrow m \ge 10.$

Giải: $f\left( x \right) =  - {x^2} + 6x + 7 = 0$$\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 7} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 7\end{array} \right.$

Ta có bảng xét dấu:

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S = \left[ { - 1;\,\,7} \right]$.

Theo đề bài, ta có:

$\begin{array}{l}{x^2} - 6\sqrt 2 x + 18 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2.3\sqrt 2 .x + {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3\sqrt 2 } \right)^2} \ge 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Bất đẳng thức $\left( 1 \right)$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy $S = \mathbb{R}$.

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2 - x} \right)^2} \le 7 - 3x + {x^2}\\{\left( {x + 2} \right)^3} < {x^3} + 3{x^2} + 3x + 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 4x + {x^2} \le 7 - 3x + {x^2}\\{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 < {x^3} + 3{x^2} + 3x + 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\3{x^2} + 9x - 12 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\ - 4 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le x < 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 3\\M = 0\end{array} \right. \Rightarrow m + M =  - 3.\end{array}$

Đặt $f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2$.

$\Delta ' = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 2m$

+) $\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2 < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2 < 0\\{m^2} - 2m < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 0 < m < 2$

$\Rightarrow f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

Vậy bất phương trình $- 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2 \ge 0$ vô nghiệm.

$\Rightarrow$ Loại

+) $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0$$\Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow f\left( x \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2{x^2} - 4x - 2 = 0\\ - 2{x^2} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy bất phương trình $- 2{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 2 \ge 0$ có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\end{array} \right.$.

$\Rightarrow$ Nhận $m = 0;\,\,m = 2$.

+) $\Delta ' > 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 2m > 0$$\Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow f\left( x \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ (giả sử ${x_1} < {x_2}$)

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có: $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow {x_1} \le x \le {x_2}$

$\Rightarrow$ Nhận $\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.$

Kết hợp các trường hợp, ta được $m \in \left( { - \infty ;\,\,0} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right)$.

Vậy $m \in \left( { - \infty ;\,0} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)$.

ĐKXĐ: ${x^2} - 2x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.$

$\sqrt {{x^2} - 2x}  \le \sqrt 3  \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3$

Kết hợp ĐKXĐ $\Rightarrow x \in \left[ { - 1;0} \right] \cup \left[ {2;3} \right]$

Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên.

Điều kiện: $x \ne  \pm 2$

Ta có:

$\dfrac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} - 4}} \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} - 4}} - 1 \ge 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 4}} \ge 0$(*)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, bất phương trình

(*)$\Leftrightarrow x \in \left( { - 2; - 1} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 2m - 5 > 0(1)\\2{x^2} + \left( {m + 9} \right)x + m + 7 > 0(2)\end{array} \right.$ đúng với mọi $x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{(1)}}' < 0\\{\Delta _{(2)}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} + 2m + 5 < 0\\{\left( {m + 9} \right)^2} - 8\left( {m + 7} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 3} \right)^2} < 0\\{\left( {m + 5} \right)^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}$

$2{x^2} + x + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 x + \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)^2} + \dfrac{7}{8} > 0$ luôn đúng với $\forall x$

Vậy tập nghiệm của BPT là R.

 Ta có $-2{x^2} + 3x - 7\; = 0$ vô nghiệm.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $- 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0\, \Leftrightarrow \,x \in \emptyset$.

$\left| {2x + 1} \right| < x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\{\left( {2x + 1} \right)^2} < {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\4{x^2} + 4x + 1 < {x^2} + 4x + 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\3{x^2} - 3 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x < 1$

Vậy tập nghiệm của BPT là $\left( { - 1;1} \right).$

${x^2} - 16 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 16 \Leftrightarrow  - 4 \le x \le 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\x - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 4}  \ge 0\\x - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt {x + 4} \left( {x - 4} \right) \le 0$

$\dfrac{{{x^2} + 2x - 8}}{{\left| {x + 1} \right|}} < 0$        ĐKXĐ: $x \ne  - 1$

$\Rightarrow {x^2} + 2x - 8 < 0$ (do $\left| {x + 1} \right| > 0$ với $\forall x \ne  - 1$)

$\Leftrightarrow  - 4 < x < 2$ . Kết hợp ĐKXĐ $\Rightarrow$ tập nghiệm của BPT là $\left( { - 4; - 1} \right) \cup \left( { - 1;2} \right)$

Lợi nhuận bán vé tối thiểu là 50 triệu đồng

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow P\left( x \right) =  - 50{x^2} + 3500x - 2500 \ge 50000\\ \Leftrightarrow  - 50{x^2} + 3500x - 52500 \ge 0\\ \Leftrightarrow 35 - 5\sqrt 7  \le x \le 35 + 5\sqrt 7 \end{array}$

Vậy giá tiền mỗi vé là $22 \le x \le 48$ ngàn đồng thỏa mãn yêu cầu đề bài.

$- {x^2} + 5x + 6 > 0 \Leftrightarrow  - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 6} \right) > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 1 < x < 6.$

Vậy tập nghiệm của BPT là $\left( { - 1;6} \right).$

ĐKXĐ: ${x^2} - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 1\end{array} \right.$

$\left( {{x^2} - x - 6} \right)\sqrt {{x^2} - x - 2}  \ge 0$$\Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}  \ge 0$

Đặt $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - x - 6} \right)\sqrt {{x^2} - x - 2}$ . Ta có bảng:

Vậy $f\left( x \right) \ge 0$ $\Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right) \cup \left\{ { - 1;2} \right\}$

Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \,1 < x < 2$.

Ta có $f\left( x \right) =  - {x^2} + 5x - 4 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 1\end{array} \right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 4\end{array} \right.$.

Xét $f\left( x \right) =  - 3{x^2} + x - 1$ có $a =  - 3 < 0,$ $\Delta  = {1^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) =  - 11 < 0$ nên $f\left( x \right) < 0,\forall x$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}$.