Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ

Với $90^o < \alpha  < 180^o$ thì $\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  < 0.$

Hai góc bù nhau $\alpha$ và $\left( {180^\circ  - \alpha } \right)$ thì cho có giá trị của $\sin$ bằng nhau.

Hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau thì $\sin \alpha  = \cos \beta ;\;cos\alpha  = sin\beta ;\;tan\alpha  = cot\beta ;$ $\cot \alpha  = tan\beta$.

Đáp án A sai vì $\sin {90^0} = 1 > \sin {150^0}$.

Đáp án B: sai vì ${90^0}15' < {90^0}30'$ nên $\sin 90^\circ 15' > \sin 90^\circ 30'.$

Đáp án C: đúng vì ${90^0}30' < {100^0}$ nên $\cos 90^\circ 30' > \cos 100^\circ .$

Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được $\left\{ \begin{array}{l}\cos {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \cos {45^0} + \sin {45^0} = \sqrt 2$

Vì ${30^0}$ và ${60^0}$ là hai góc phụ nhau nên $\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^0} = \cos {60^0}\\\sin {60^0} = \cos {30^0}\end{array} \right.$

$\Rightarrow P = \cos {30^ \circ }\cos {60^ \circ } - \sin {30^ \circ }\sin {60^ \circ }$ $= \cos {30^ \circ }\cos {60^ \circ } - \cos {60^ \circ }\cos {30^ \circ } = 0$

Hai góc $15^\circ$ và $75^\circ$ phụ nhau nên $\sin 75^\circ  = \cos 15^\circ .$

Hai góc $20^\circ$ và $110^\circ$ hơn kém nhau $90^\circ$ nên $\cos 110^\circ  =  - \sin 20^\circ .$

Do đó, $S = {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}20^\circ  + {\sin ^2}75^\circ  + {\cos ^2}110^\circ$

$= {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}20 + {\cos ^2}15^\circ  + {\left( { - \sin 20^\circ } \right)^2}$$= \left( {{{\sin }^2}15^\circ  + {{\cos }^2}15^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}20^\circ  + {{\cos }^2}20^\circ } \right) = 2$

Ta có: $\sin C = \sin {30^0} = \dfrac{1}{2}$ nên A sai

Ta có $\cos \alpha  + \sin \alpha  = \dfrac{1}{3}$$\Rightarrow {\left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{9}$

$\Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{1}{9}$$\Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha  =  - \dfrac{4}{9}$

Ta có $P = \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha }$$= \sqrt {{{\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)}^2} - 2\tan \alpha \cot \alpha }$ $= \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)}^2} - 2}$

$= \sqrt {{{\left( {\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)}^2} - 2}$ $= \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{{\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)}^2} - 2}$ $= \sqrt {{{\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)}^2} - 2}  = \dfrac{7}{4}$

Ta có biểu thức ${\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 - {\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} = \dfrac{{16}}{{25}}.$

Do đó ta có $P = 3{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 3.{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} + 5.\dfrac{{16}}{{25}} = \dfrac{{107}}{{25}}.$

Ta có $P = \dfrac{{6\sin \alpha  - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha  + 7\sin \alpha }}$ $= \dfrac{{6\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7}}{{6 + 7\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}$ $= \dfrac{{6\tan \alpha  - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \dfrac{5}{3}$

Từ biểu thức ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1$ ta suy ra ${\cos ^2}\dfrac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\dfrac{\alpha }{5} = 1.$

Do đó ta có $5\left( {{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{5}} \right) = 5.$

Ta có $3\cos \alpha  - \sin \alpha  = 1 \Leftrightarrow 3\cos \alpha  = \sin \alpha  + 1$$\Rightarrow 9{\cos ^2}\alpha  = {\left( {\sin \alpha  + 1} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 9{\cos ^2}\alpha  = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  + 1$ $\Leftrightarrow 9\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  + 1$

$\Leftrightarrow 10{\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha  =  - 1\\\sin \alpha  = \dfrac{4}{5}\end{array} \right..$

$\bullet$ $\sin \alpha  =  - 1$: không thỏa mãn vì ${0^0} < \alpha  < {90^0}.$

$\bullet$ $\sin \alpha  = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{3}{5}$$\Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{4}{3}$

Ta có $2\cos \alpha  + \sqrt 2 \sin \alpha  = 2$$\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \alpha  = 2 - 2\cos \alpha$ $\Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  = {\left( {2 - 2\cos \alpha } \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha  = 4 - 8\cos \alpha  + 4{\cos ^2}\alpha$$\Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = 4 - 8\cos \alpha  + 4{\cos ^2}\alpha$

$\Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha  - 8\cos \alpha  + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = 1\\\cos \alpha  = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

$\bullet$ $\cos \alpha  = 1$: không thỏa mãn vì ${0^0} < \alpha  < {90^0}.$

$\bullet$ $\cos \alpha  = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}$$\Rightarrow \cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$

Ta có $\sin \alpha  - \cos \alpha  = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \to {\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{5}$

$\Leftrightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{2}{5}.$

Ta có $P = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + {{\cos }^4}\alpha }$$= \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }$

$= \sqrt {1 - 2{{\left( {\sin \alpha cos\alpha } \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}.$

Vì $\alpha$ và ${180^0} - \alpha$ là hai góc bù nhau nên $\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha$.

Vì $\alpha$ tù nên $\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  < 0,\tan \alpha  < 0,\cot \alpha  < 0$.

Vì $\alpha ,\beta$ là hai góc phụ nhau nên $\cos \alpha  = \sin \beta$.

Do đó đáp án D sai.

Ngoài ra các đáp án A, B, C đều đúng theo tính chất của hai góc phụ nhau (sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia)

Đáp án A sai vì $\sin {90^0} = 1 > \sin {100^0}$.

Đáp án B đúng vì giá trị của $\cos \alpha$ giảm dần khi $\alpha$ tăng dần từ ${90^0}$ đến ${180^0}$.

Đáp án C sai vì $\tan {85^0} > 0 > \tan {125^0}$.

Đáp án D sai vì giá trị của $\cos \alpha$ giảm dần khi $\alpha$ tăng dần từ ${90^0}$ đến ${180^0}$.

Ta có: $\tan {45^0} + \cot {135^0} = 1 - 1 = 0$