Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ

Với \(90^o < \alpha  < 180^o\) thì \(\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  < 0.\)

Hai góc bù nhau \(\alpha \) và \(\left( {180^\circ  - \alpha } \right)\) thì cho có giá trị của \(\sin \) bằng nhau.

Hai góc nhọn \(\alpha \) và \(\beta \) phụ nhau thì \(\sin \alpha  = \cos \beta ;\;cos\alpha  = sin\beta ;\;tan\alpha  = cot\beta ;\) \(\cot \alpha  = tan\beta \).

Đáp án A sai vì \(\sin {90^0} = 1 > \sin {150^0}\).

Đáp án B: sai vì \({90^0}15' < {90^0}30'\) nên \(\sin 90^\circ 15' > \sin 90^\circ 30'.\)

Đáp án C: đúng vì \({90^0}30' < {100^0}\) nên \(\cos 90^\circ 30' > \cos 100^\circ .\)

Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\cos {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \cos {45^0} + \sin {45^0} = \sqrt 2 \)

Vì \({30^0}\) và \({60^0}\) là hai góc phụ nhau nên \(\left\{ \begin{array}{l}\sin {30^0} = \cos {60^0}\\\sin {60^0} = \cos {30^0}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P = \cos {30^ \circ }\cos {60^ \circ } - \sin {30^ \circ }\sin {60^ \circ }\) \( = \cos {30^ \circ }\cos {60^ \circ } - \cos {60^ \circ }\cos {30^ \circ } = 0\)

Hai góc \(15^\circ \) và \(75^\circ \) phụ nhau nên \(\sin 75^\circ  = \cos 15^\circ .\)

Hai góc \(20^\circ \) và \(110^\circ \) hơn kém nhau \(90^\circ \) nên \(\cos 110^\circ  =  - \sin 20^\circ .\)

Do đó, \(S = {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}20^\circ  + {\sin ^2}75^\circ  + {\cos ^2}110^\circ \)

\( = {\sin ^2}15^\circ  + {\cos ^2}20 + {\cos ^2}15^\circ  + {\left( { - \sin 20^\circ } \right)^2}\)\( = \left( {{{\sin }^2}15^\circ  + {{\cos }^2}15^\circ } \right) + \left( {{{\sin }^2}20^\circ  + {{\cos }^2}20^\circ } \right) = 2\)

Ta có: \(\sin C = \sin {30^0} = \dfrac{1}{2}\) nên A sai

Ta có \(\cos \alpha  + \sin \alpha  = \dfrac{1}{3}\)\( \Rightarrow {\left( {\cos \alpha  + \sin \alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{9}\)

\( \Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{1}{9}\)\( \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha  =  - \dfrac{4}{9}\)

Ta có \(P = \sqrt {{{\tan }^2}\alpha  + {{\cot }^2}\alpha } \)\( = \sqrt {{{\left( {\tan \alpha  + \cot \alpha } \right)}^2} - 2\tan \alpha \cot \alpha } \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}} \right)}^2} - 2} \)

\( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)}^2} - 2} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{{\sin \alpha \cos \alpha }}} \right)}^2} - 2} \) \( = \sqrt {{{\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)}^2} - 2}  = \dfrac{7}{4}\)

Ta có biểu thức \({\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 1 - {\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} = \dfrac{{16}}{{25}}.\)

Do đó ta có \(P = 3{\sin ^2}\dfrac{\alpha }{3} + 5{\cos ^2}\dfrac{\alpha }{3} = 3.{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^2} + 5.\dfrac{{16}}{{25}} = \dfrac{{107}}{{25}}.\)

Ta có \(P = \dfrac{{6\sin \alpha  - 7\cos \alpha }}{{6\cos \alpha  + 7\sin \alpha }}\) \( = \dfrac{{6\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 7}}{{6 + 7\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}\) \( = \dfrac{{6\tan \alpha  - 7}}{{6 + 7\tan \alpha }} = \dfrac{5}{3}\)

Từ biểu thức \({\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\) ta suy ra \({\cos ^2}\dfrac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\dfrac{\alpha }{5} = 1.\)

Do đó ta có \(5\left( {{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{5}} \right) = 5.\)

Ta có \(3\cos \alpha  - \sin \alpha  = 1 \Leftrightarrow 3\cos \alpha  = \sin \alpha  + 1\)\( \Rightarrow 9{\cos ^2}\alpha  = {\left( {\sin \alpha  + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 9{\cos ^2}\alpha  = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  + 1\) \( \Leftrightarrow 9\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  + 1\)

\( \Leftrightarrow 10{\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha  - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \alpha  =  - 1\\\sin \alpha  = \dfrac{4}{5}\end{array} \right..\)

\( \bullet \) \(\sin \alpha  =  - 1\): không thỏa mãn vì \({0^0} < \alpha  < {90^0}.\)

\( \bullet \) \(\sin \alpha  = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{3}{5}\)\( \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{4}{3}\)

Ta có \(2\cos \alpha  + \sqrt 2 \sin \alpha  = 2\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \alpha  = 2 - 2\cos \alpha \) \( \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  = {\left( {2 - 2\cos \alpha } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}\alpha  = 4 - 8\cos \alpha  + 4{\cos ^2}\alpha \)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) = 4 - 8\cos \alpha  + 4{\cos ^2}\alpha \)

\( \Leftrightarrow 6{\cos ^2}\alpha  - 8\cos \alpha  + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = 1\\\cos \alpha  = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)

\( \bullet \) \(\cos \alpha  = 1\): không thỏa mãn vì \({0^0} < \alpha  < {90^0}.\)

\( \bullet \) \(\cos \alpha  = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \sin \alpha  = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\)\( \Rightarrow \cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Ta có \(\sin \alpha  - \cos \alpha  = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} \to {\left( {\sin \alpha  - \cos \alpha } \right)^2} = \dfrac{1}{5}\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{1}{5} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha  = \dfrac{2}{5}.\)

Ta có \(P = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha  + {{\cos }^4}\alpha } \)\( = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} - 2{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \)

\( = \sqrt {1 - 2{{\left( {\sin \alpha cos\alpha } \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {17} }}{5}.\)

Vì \(\alpha \) và \({180^0} - \alpha \) là hai góc bù nhau nên \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \).

Vì \(\alpha \) tù nên \(\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  < 0,\tan \alpha  < 0,\cot \alpha  < 0\).

Vì \(\alpha ,\beta \) là hai góc phụ nhau nên \(\cos \alpha  = \sin \beta \).

Do đó đáp án D sai.

Ngoài ra các đáp án A, B, C đều đúng theo tính chất của hai góc phụ nhau (sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia)

Đáp án A sai vì \(\sin {90^0} = 1 > \sin {100^0}\).

Đáp án B đúng vì giá trị của \(\cos \alpha \) giảm dần khi \(\alpha \) tăng dần từ \({90^0}\) đến \({180^0}\).

Đáp án C sai vì \(\tan {85^0} > 0 > \tan {125^0}\).

Đáp án D sai vì giá trị của \(\cos \alpha \) giảm dần khi \(\alpha \) tăng dần từ \({90^0}\) đến \({180^0}\).

Ta có: \(\tan {45^0} + \cot {135^0} = 1 - 1 = 0\)