Cho \(\Delta ABC\) có các cạnh \(BC = a\), $AC = b$, \(AB = c\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \dfrac{{2a + c}}{{2a - c}}\) là tam giác
Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Ta có:
\(\dfrac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \dfrac{{2a + c}}{{2a - c}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \dfrac{{2.2R\sin A + 2R\sin C}}{{2.2R\sin A - 2R\sin C}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \dfrac{{2\sin A + \sin C}}{{2\sin A - \sin C}}\)\( \Leftrightarrow 2\sin A + 2\sin A\cos B - \sin C - \sin C\cos B = 2\sin A - 2\sin A\cos B + \sin C - \sin C\cos B\) \( \Leftrightarrow 4\sin A\cos B = 2\sin C\)
\( \Leftrightarrow 4.\dfrac{a}{{2R}}.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = 2.\dfrac{c}{{2R}}\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = {c^2}\)
\( \Leftrightarrow a = b\).
Vậy \(\Delta ABC\) cân tại \(C\).
Tính giá trị của biểu thức $P = \left( {1 - 2\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right)$ biết $\sin \alpha = \dfrac{2}{3}$.
Ta có $P = \left( {1 - 2\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right)$$ = \left[ {1 - 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)} \right]\left[ {2 + 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)} \right]$.
$ = \left[ {1 - 2\left( {1 - 2.\dfrac{4}{9}} \right)} \right]\left[ {2 + 3\left( {1 - 2.\dfrac{4}{9}} \right)} \right]$\( = \dfrac{{49}}{{27}}\).
Cho \(\sin a - \,\cos a\, = \dfrac{3}{4}\). Tính \(\sin 2a\).
Ta có \(\sin a - \cos a = \dfrac{3}{4}\) suy ra \({\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} = \dfrac{9}{{16}}\)
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\sin ^2}a + {\cos ^2}a - 2\sin a\cos a = \dfrac{9}{{16}}\\
\Leftrightarrow 1 - \sin 2a = \dfrac{9}{{16}}\\
\Leftrightarrow \sin 2a = 1 - \dfrac{9}{{16}}\\
\Leftrightarrow \sin 2a = \dfrac{7}{{16}}
\end{array}$
Giá trị lớn nhất của biểu thức \({\sin ^4}x + {\cos ^7}x\) là
Vì \( - 1 \le \cos x \le 1\), ta có: ${\sin ^4}x + {\cos ^7}x \le {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \({\sin ^4}x + {\cos ^7}x\) là \(1\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\sin a + \sqrt 3 \cos a$.
* Ta có $\sin a + \sqrt 3 \cos a = 2\left( {\dfrac{1}{2}\sin a + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos a} \right)$$ = 2\left( {\sin a\sin \dfrac{\pi }{6} + \cos a\cos \dfrac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {a - \dfrac{\pi }{6}} \right)$.
* Lại có $ - 2 \le 2\cos \left( {a - \dfrac{\pi }{6}} \right) \le 2$ suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là \( - 2\) khi $\cos \left( {a - \dfrac{\pi }{6}} \right) = - 1 \Leftrightarrow a = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi $, $k \in \mathbb{Z}$.
Khẳng định nào sau dưới đây đúng?
+ \({\sin ^4}a - {\cos ^4}a = \left( {{{\sin }^2}a - {{\cos }^2}a} \right).\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right) = \left( {{{\sin }^2}a - {{\cos }^2}a} \right).1 = - \cos 2a\) nên A sai.
+$2\left( {{{\sin }^4}a + {{\cos }^4}a} \right) = 2\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)}^2} - 2{{\sin }^2}a.{{\cos }^2}a} \right] = 2\left( {1 - 2.\dfrac{1}{4}{{\sin }^2}2a} \right) = 2 - {\sin ^2}2a$ nên B đúng.
+ \({\left( {\sin a - \cos a} \right)^2} = 1 - 2\sin a.\cos a = 1 - \sin 2a\) nên C sai.
+ \({\left( {{{\sin }^2}a + {{\cos }^2}a} \right)^3} = 1\) và \(1 + 2{\sin ^4}a.{\cos ^4}a = 1 + 2.{\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2a} \right)^4} = 1 + \dfrac{1}{8}{\sin ^4}2a\) nên D sai.
Tính giá trị của $G = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{6} + {\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{6} + ... + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{6} + {\cos ^2}\pi $
$G = {\cos ^2}\dfrac{\pi }{6} + {\cos ^2}\dfrac{{2\pi }}{6} + ... + {\cos ^2}\dfrac{{5\pi }}{6} + {\cos ^2}\pi $$ = \left( {{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{6} + {{\cos }^2}\dfrac{{2\pi }}{6}} \right) + \left( {{{\cos }^2}\dfrac{{4\pi }}{6} + {{\cos }^2}\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) + \left( {{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{2} + {{\cos }^2}\pi } \right)$.
$ = \left( {{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{6} + {{\cos }^2}\dfrac{\pi }{3}} \right) + \left( {{{\cos }^2}\dfrac{{2\pi }}{6} + {{\cos }^2}\dfrac{\pi }{6}} \right) + 1$.
$ = 2\left( {{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{6} + {{\cos }^2}\dfrac{\pi }{3}} \right) + 1 = 2\left( {{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{6} + {{\sin }^2}\dfrac{\pi }{6}} \right) + 1 = 3$.
Biểu thức $A = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ $ có giá trị bằng
$\begin{array}{l}A = \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + ... + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ \\ = \left( {\cos 20^\circ + \cos 160^\circ } \right) + \left( {\cos 40^\circ + \cos 140^\circ } \right) + ...\left( {\cos 80^\circ + \cos 100^\circ } \right) + \cos {180^0}\\ = 0 + 0 + ... + 0 + \left( { - 1} \right)\end{array}$.
$ = - 1$.
Kết quả rút gọn của biểu thức ${\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1$ bằng
${\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1 = {\left( {\dfrac{{\sin \alpha + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\cos \alpha + 1}}} \right)^2} + 1 = {\left( {\dfrac{{\sin \alpha \left( {1 + \cos \alpha } \right)}}{{\cos \alpha \left( {\cos \alpha + 1} \right)}}} \right)^2} + 1 = {\tan ^2}\alpha + 1 = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$.
Tính $E = \sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \dfrac{{2\pi }}{5} + ... + \sin \dfrac{{9\pi }}{5}$.
$\begin{array}{l}E = \sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \dfrac{{2\pi }}{5} + ... + \sin \dfrac{{9\pi }}{5}\\ = \left( {\sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \dfrac{{9\pi }}{5}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{5} + \sin \dfrac{{8\pi }}{5}} \right) + ...\\ + \left( {\sin \dfrac{{4\pi }}{5} + \sin \dfrac{{6\pi }}{5}} \right) + \sin \dfrac{{5\pi }}{5}\\ = \left[ {\sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \left( {2\pi - \dfrac{\pi }{5}} \right)} \right] + \left[ {\sin \dfrac{{2\pi }}{5} + \sin \left( {2\pi - \dfrac{{2\pi }}{5}} \right)} \right]\\ + ... + \left[ {\sin \dfrac{{4\pi }}{5} + \sin \left( {2\pi - \dfrac{{4\pi }}{5}} \right)} \right] + \sin \pi \\ = \left[ {\sin \dfrac{\pi }{5} + \sin \left( { - \dfrac{\pi }{5}} \right)} \right] + \left[ {\sin \dfrac{{2\pi }}{5} + \sin \left( { - \dfrac{{2\pi }}{5}} \right)} \right]\\+ ... + \left[ {\sin \dfrac{{4\pi }}{5} + \sin \left( { - \dfrac{{4\pi }}{5}} \right)} \right] + 0\\ = \left( {\sin \dfrac{\pi }{5} - \sin \dfrac{\pi }{5}} \right) + \left( {\sin \dfrac{{2\pi }}{5} - \sin \dfrac{{2\pi }}{5}} \right) + ...\\ + \left( {\sin \dfrac{{4\pi }}{5} - \sin \dfrac{{4\pi }}{5}} \right)\\ = 0 + 0 + ... + 0 = 0\end{array}$
Ta có ${\sin ^4}x = \dfrac{a}{8} - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{b}{8}\cos 4x$ với $a,b \in \mathbb{Q}$. Khi đó tổng $a + b$ bằng
${\sin ^4}x = {\left( {\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)^2}$$ = \dfrac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)$$ = \dfrac{1}{4}\left( {1 - 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)$$ = \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{8}\cos 4x$$\dfrac{a}{8} - \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{b}{8}\cos 4x$
Vậy $a + b = 3 + 1 = 4$.
Ta có ${\sin ^8}x + {\cos ^8}x = \dfrac{a}{{64}} + \dfrac{b}{{16}}\cos 4x + \dfrac{c}{{64}}\cos 8x$ với $a,b \in \mathbb{Q}$. Khi đó $a - 5b + c$ bằng
${\sin ^8}x + {\cos ^8}x$$ = {\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)^2} - 2{\sin ^4}x.{\cos ^4}x$$ = {\left( {1 - 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right)^2} - \dfrac{1}{8}{\sin ^4}2x$
$ = {\left( {1 - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}2x} \right)^2} - \dfrac{1}{8}{\sin ^4}2x$$ = 1 - {\sin ^2}2x + \dfrac{1}{8}{\sin ^4}2x$$ = 1 - \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} + \dfrac{1}{8}{\left( {\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)^2}$
$ = 1 - \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} + \dfrac{1}{{32}}\left( {1 - 2\cos 4x + \dfrac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right)$$ = \dfrac{{35}}{{64}} + \dfrac{7}{{16}}\cos 4x + \dfrac{1}{{64}}\cos 8x$
$ \Rightarrow a = 35$, $b = 7$, $c = 1$$ \Rightarrow a - 5b + c = 1$.
Nếu $\alpha $ là góc nhọn và $\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} $ thì $\cot \alpha $ bằng
Ta có: $0 < \alpha < 90^\circ $$ \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\alpha }{2} < 45^\circ $$ \Rightarrow 0 < \sin \dfrac{\alpha }{2} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$$ \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$$ \Leftrightarrow x > 0$
${\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = 1$$ \Rightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} $, vì $0 < \dfrac{\alpha }{2} < 45^\circ $
$ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{2x}}} $$ \Rightarrow \tan \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} $
$tan\alpha = \dfrac{{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1} $
$ \Rightarrow \cot \alpha = \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^2} - 1}}$.
