Cho \(\Delta ABC\) có các cạnh \(BC = a\), $AC = b$, \(AB = c\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \dfrac{{2a + c}}{{2a - c}}\) là tam giác

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\). Ta có:

\(\dfrac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \dfrac{{2a + c}}{{2a - c}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \dfrac{{2.2R\sin A + 2R\sin C}}{{2.2R\sin A - 2R\sin C}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 + \cos B}}{{1 - \cos B}} = \dfrac{{2\sin A + \sin C}}{{2\sin A - \sin C}}\)\( \Leftrightarrow 2\sin A + 2\sin A\cos B - \sin C - \sin C\cos B = 2\sin A - 2\sin A\cos B + \sin C - \sin C\cos B\) \( \Leftrightarrow 4\sin A\cos B = 2\sin C\)

\( \Leftrightarrow 4.\dfrac{a}{{2R}}.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = 2.\dfrac{c}{{2R}}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = {c^2}\)

\( \Leftrightarrow a = b\).

Vậy \(\Delta ABC\) cân tại \(C\).