Hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + x + y = 8}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - y} \right)}^2} = 1}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 1}\\{x - y =  - 1}\end{array}} \right.}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 1}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y =  - 1}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x - 1}\\{2x\left( {x - 1} \right) + 2x - 1 = 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x + 1}\\{2x\left( {x + 1} \right) + 2x + 1 = 7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x - 1}\\{2{x^2} = 8}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x + 1}\\{2{x^2} + 4x - 6 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x - 1}\\{x = {\rm{\;}} \pm 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x + 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2;y = 1}\\{x =  - 2;y =  - 3}\\{x = 1;y = 2}\\{x =  - 3;y =  - 2}\end{array}} \right.$

Vì x>0 và y>0 nên hệ có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Điều kiện: $x \ge 1;y \ge 0$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1}  \ge 0\\v = \sqrt y  \ge 0\end{array} \right.$

Khi đó, hệ (1) trở thành

$\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\{u^2} + {v^2} = 2m - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\uv = 5 - m\end{array} \right.$

Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của phương trình ${X^2} - 3X + 5 - m = 0$(*)

Hệ (1) có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm không âm.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\P \ge 0\\S \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 11 + 4m \ge 0\\5 - m \ge 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \dfrac{{11}}{4} \le m \le 5$

Vậy $m \in \left\{ {3;4;5} \right\}$

Điều kiện: $x \ge 0;y \ge 0$

Khi đó:

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  + \sqrt y  = m\\{\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3} = {m^3} - 3m\end{array} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}S = \sqrt x  + \sqrt y  \ge 0\\P = \sqrt {xy}  \ge 0\end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)$

Hệ phương trình trở thành $\left\{ \begin{array}{l}S = m\\{S^3} - 3SP = {m^3} - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = m\\P = 1\end{array} \right.$

Hệ (2) có nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S^2} \ge 4P\\P \ge 0\\S \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} \ge 4\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2$

Suy ra $m \in \left\{ {2;3;4;5} \right\} \Rightarrow S = 2 + 3 + 4 + 5 = 14$

.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + \left| y \right| = 0\,\,\,\,\left( {\,1} \right)\\{y^2} + {x^2} - 8x = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,$

$\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left| y \right|^2} + \left| y \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| y \right|\left( {\left| y \right| + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| y \right| = 0\\\left| y \right| + 1 = 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow y = 0\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 8\end{array} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)$ hoặc $\left( {x;y} \right) = \left( {8;0} \right)$.

- Từ phương trình đầu suy ra $y = x - 9$

- Thay vào phương trình dưới ta được:

$x\left( {x - 9} \right) = 90 \Leftrightarrow {x^2} - 9x - 90 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15 \Rightarrow y = 6\\x =  - 6 \Rightarrow y =  - 15\end{array} \right.$ 

- Ta có : $x,y$ là nghiệm phương trình ${X^2} - SX + P = 0$

- Hệ phương trình có nghiệm khi $\Delta  = {S^2} - 4P \ge {\rm{0}}$.

Đặt $S = x + y,P = xy$ $\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)$

Hệ phương trình tương đương $\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\SP = 30\end{array} \right.$$\Rightarrow S\left( {11 - S} \right) = 30$$\Rightarrow  - {S^2} + 11S - 30 = 0$ $\Rightarrow S = 5;S = 6$

Khi $S = 5$ thì $P = 6$ nên $x,y$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2;y = 3\\x = 3;y = 2\end{array} \right.$  suy ra hệ có nghiệm $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)$

Khi $S = 6$ thì $P = 5$ nên $x,y$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1;y = 5\\x = 5;y = 1\end{array} \right.$  suy ra hệ có nghiệm $\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).$

Ta có : $y = x + m \Rightarrow {x^2} + {\left( {x + m} \right)^2} = 1$ $\Leftrightarrow 2{x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0\;\;\left( * \right)$

Hệ phương trình có đúng $1$ nghiệm khi phương trình $\left( * \right)$ có đúng $1$ nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 2 .$

Lời giải

- Ta có : $2x - y = 5 \Leftrightarrow y = 2x - 5$

- Thay $y = 2x - 5$ vào phương trình dưới ta được :

$\left| {x - 1} \right| + 2x - 5 = 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - 2x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 5 - 2x\\x - 1 =  - 5 + 2x\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}3x = 6\\ - x =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$ $\Rightarrow y =  - 1$.

- Đặt $S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right.$ $\Rightarrow {S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5$$\Rightarrow {S^2} + 2S - 15 = 0$$\Rightarrow S =  - 5;S = 3$

+) $S =  - 5 \Rightarrow P = 10$ (loại)

+) $S = 3 \Rightarrow P = 2$ (nhận)

Khi đó : $x,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow X = 1;X = 2$

Vậy hệ có nghiệm  $\left( {2;1} \right),\left( {1;2} \right).$

Đặt $S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\{S^2} - 2P + 3S = 28\end{array} \right.$$\Rightarrow {S^2} - 2\left( {11 - S} \right) + 3S = 28$$\Rightarrow {S^2} + 5S - 50 = 0$ $\Rightarrow S = 5;S =  - 10$

Khi $S = 5 \Rightarrow P = 6$ thì $x,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow X = 2;X = 3$

Khi $S =  - 10 \Rightarrow P = 21$ thì $x,y$ là nghiệm của phương trình ${X^2} + 10X + 21 = 0 \Leftrightarrow X =  - 3;X =  - 7$

Vậy hệ có nghiệm $\left( {3;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( { - 3; - 7} \right),\left( { - 7; - 3} \right).$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 3x + 8y\\{y^3} = 3y + 8x\end{array} \right.$$\Rightarrow$ ${x^3} - {y^3} =  - 5x + 5y$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) =  - 5\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 5} \right) = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} + 5 = 0\end{array} \right.$ 

Khi $x = y$ thì ${x^3} - 11x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x =  \pm \sqrt {11}$

Khi ${x^2} + xy + {y^2} + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}y} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} + 5 = 0$ (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $\left( { - \sqrt {11} ; - \sqrt {11} } \right);\left( {\sqrt {11} ;\sqrt {11} } \right).$

- Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right.$$\Rightarrow {x^2} - {y^2} + y - x = 0$$\Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0$

- Khi $x = y$ thì ${x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3;x = 2$

- Khi $y = 1 - x$ thì ${x^2} + 1 - x - 6 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = 0$$\Leftrightarrow {x_{1,2}} = \dfrac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}$

Vậy hệ phương trình đã cho có $4$ nghiệm $\left( { - 3; - 3} \right),$ $\left( {2;2} \right),$$\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right)$ và $\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right.$$\Rightarrow {4^2} - 2P = {m^2}$$\Leftrightarrow P = \dfrac{{16 - {m^2}}}{2}$

$\Rightarrow {S^2} - 4P = 16 - 2\left( {16 - {m^2}} \right) = 2{m^2} - 16 \ge 0$$\Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8$.

Khi $x,y \ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - \dfrac{{11}}{9};y = \dfrac{{19}}{9}$ (loại)

Khi $x,y < 0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{19}}{9},y = \dfrac{{ - 23}}{9}$ (loại)

Khi $x \ge 0,y < 0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x = 1;y =  - 1$ (nhận)

Khi $x < 0,y \ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x =  - \dfrac{{11}}{{19}};y = \dfrac{{23}}{{19}}$ (nhận)

Điều kiện: $x,y \ge 1$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1}  = 1\\2y + \sqrt {x - 1}  = 1\end{array} \right.$$\Rightarrow 2x - 2y + \sqrt {y - 1}  - \sqrt {x - 1}  = 0$$\Rightarrow 2\left( {x - y} \right) + \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {y - 1}  + \sqrt {x - 1}  = 0}}$

$\Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt {y - 1}  + \sqrt {x - 1} }}} \right) = 0$

Khi $x = y$ thì $2x + \sqrt {x - 1}  = 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1}  = 1 - 2x$ (vô nghiệm do $x \ge 1$ thì $VT \ge 0,VP < 0$ )

Khi $\sqrt {y - 1}  + \sqrt {x - 1}  = \dfrac{1}{2}$ thì $2x + 2y + \dfrac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \dfrac{3}{4}$ (vô nghiệm vì $x,y \ge 1$)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

- Khi $m =  - 1$ thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\{x^2}y + {y^2}x = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ hệ có vô số nghiệm $\Rightarrow (I)$ đúng.

- Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m + 1\\{x^2}y + {y^2}x = 2{m^2} - m - 3\end{array} \right.$$\Rightarrow xy\left( {m + 1} \right) = 2{m^2} - m - 3$$\Rightarrow xy = 2m - 3$

$\Rightarrow {S^2} - 4P = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 6m + 13 > 0,\forall m$ đúng

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}2xy + {y^2} - 4x - 3y + 2 = 0\\xy + 3{y^2} - 2x - 14y + 16 = 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2xy + {y^2} - 4x - 3y + 2 = 0\\2xy + 6{y^2} - 4x - 28y + 32 = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow 5{y^2} - 25y + 30 = 0$

$\Rightarrow y = 3;y = 2$

Khi $y = 3$ thì phương trình đầu trở thành $6x + 9 - 4x - 9 + 2 = 0$$\Leftrightarrow x =  - 1$.

Khi $y = 2$ thì phương trình đầu trở thành $4x + 4 - 4x - 6 + 2 = 0$ $\Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in R$

Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - y\\2x = y\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: $x =  - y$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.

Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là $\left( {1; - 1} \right)$, $\left( {3; - 3} \right)$.

Trường hợp 2: $2x = y$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được $- 5{x^2} + 17x + 3 = 0$ phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vậy các cặp nghiệm $\left( {x;y} \right)$ sao cho $x,y$ đều là các số nguyên là $\left( {1; - 1} \right)$ và $\left( {3; - 3} \right)$.

- Trừ vế cho vế của phương trình $\left( 1 \right)$ cho $\left( 2 \right)$ ta được :

${x^2} + {y^2} - y =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 = 0$

- Ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0,\forall x\\{y^2} - y + 1 = {\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall y\end{array} \right.$ $\Rightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 > 0,\forall x,y$

Do đó phương trình ${x^2} + {y^2} - y + 1 = 0$ vô nghiệm.

Vậy không tồn tại giá trị của $xy$.