Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + x + y = 8(1)\\2xy + x + y = 7(2)\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm \((x;y)\) thỏa mãn \(x>0\) và \(y>0\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + x + y = 8}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x - y} \right)}^2} = 1}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 1}\\{x - y = - 1}\end{array}} \right.}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 1}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = - 1}\\{2xy + x + y = 7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x - 1}\\{2x\left( {x - 1} \right) + 2x - 1 = 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x + 1}\\{2x\left( {x + 1} \right) + 2x + 1 = 7}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x - 1}\\{2{x^2} = 8}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x + 1}\\{2{x^2} + 4x - 6 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x - 1}\\{x = {\rm{\;}} \pm 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = x + 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2;y = 1}\\{x = - 2;y = - 3}\\{x = 1;y = 2}\\{x = - 3;y = - 2}\end{array}} \right.\)
Vì x>0 và y>0 nên hệ có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} + \sqrt y = 3\\x + y = 2m\end{array} \right.\) (1) có nghiệm?
Điều kiện: \(x \ge 1;y \ge 0\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \ge 0\\v = \sqrt y \ge 0\end{array} \right.\)
Khi đó, hệ (1) trở thành
\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\{u^2} + {v^2} = 2m - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = 3\\uv = 5 - m\end{array} \right.\)
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của phương trình \({X^2} - 3X + 5 - m = 0\)(*)
Hệ (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow (*)\) có 2 nghiệm không âm.
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P \ge 0\\S \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 11 + 4m \ge 0\\5 - m \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{4} \le m \le 5\)
Vậy \(m \in \left\{ {3;4;5} \right\}\)
Tổng các giá trị m nguyên nhỏ hơn 6 để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + \sqrt y = m\\x\sqrt x + y\sqrt y = {m^3} - 3m\end{array} \right.\) có nghiệm là
Điều kiện: \(x \ge 0;y \ge 0\)
Khi đó:
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x + \sqrt y = m\\{\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3} = {m^3} - 3m\end{array} \right.\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = \sqrt x + \sqrt y \ge 0\\P = \sqrt {xy} \ge 0\end{array} \right.\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\)
Hệ phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}S = m\\{S^3} - 3SP = {m^3} - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = m\\P = 1\end{array} \right.\)
Hệ (2) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S^2} \ge 4P\\P \ge 0\\S \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} \ge 4\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2\)
Suy ra \(m \in \left\{ {2;3;4;5} \right\} \Rightarrow S = 2 + 3 + 4 + 5 = 14\)
.
Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm? \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + \left| y \right| = 0\\{y^2} + {x^2} - 8x = 0\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + \left| y \right| = 0\,\,\,\,\left( {\,1} \right)\\{y^2} + {x^2} - 8x = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\)
\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left| y \right|^2} + \left| y \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| y \right|\left( {\left| y \right| + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| y \right| = 0\\\left| y \right| + 1 = 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow y = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 8x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 8\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\) hoặc \(\left( {x;y} \right) = \left( {8;0} \right)\).
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 9\\x.y = 90\end{array} \right.$ có nghiệm là :
- Từ phương trình đầu suy ra \(y = x - 9\)
- Thay vào phương trình dưới ta được:
\(x\left( {x - 9} \right) = 90 \Leftrightarrow {x^2} - 9x - 90 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15 \Rightarrow y = 6\\x = - 6 \Rightarrow y = - 15\end{array} \right.\)
Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\x.y = P\end{array} \right.$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là :
- Ta có : \(x,y\) là nghiệm phương trình \({X^2} - SX + P = 0\)
- Hệ phương trình có nghiệm khi \(\Delta = {S^2} - 4P \ge {\rm{0}}\).
Hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right.$
Đặt \(S = x + y,P = xy\) \(\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\)
Hệ phương trình tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\SP = 30\end{array} \right.\)\( \Rightarrow S\left( {11 - S} \right) = 30\)\( \Rightarrow - {S^2} + 11S - 30 = 0\) \( \Rightarrow S = 5;S = 6\)
Khi \(S = 5\) thì \(P = 6\) nên \(x,y\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2;y = 3\\x = 3;y = 2\end{array} \right.\) suy ra hệ có nghiệm $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)$
Khi \(S = 6\) thì \(P = 5\) nên \(x,y\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\xy = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1;y = 5\\x = 5;y = 1\end{array} \right.\) suy ra hệ có nghiệm $\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).$
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\y = x + m\end{array} \right.$ có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi :
Ta có : \(y = x + m \Rightarrow {x^2} + {\left( {x + m} \right)^2} = 1\) \( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0\;\;\left( * \right)\)
Hệ phương trình có đúng \(1\) nghiệm khi phương trình \(\left( * \right)\) có đúng \(1\) nghiệm
\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2 .\)
Hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 1} \right| + y = 0\\2x - y = 5\end{array} \right.$ có nghiệm là ?
Lời giải
- Ta có : \(2x - y = 5 \Leftrightarrow y = 2x - 5\)
- Thay \(y = 2x - 5\) vào phương trình dưới ta được :
\(\left| {x - 1} \right| + 2x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - 2x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 5 - 2x\\x - 1 = - 5 + 2x\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}3x = 6\\ - x = - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{5}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\) \( \Rightarrow y = - 1\).
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.$ có nghiệm là :
- Đặt \(S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\)\( \Rightarrow {S^2} + 2S - 15 = 0\)\( \Rightarrow S = - 5;S = 3\)
+) \(S = - 5 \Rightarrow P = 10\) (loại)
+) \(S = 3 \Rightarrow P = 2\) (nhận)
Khi đó : \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 3X + 2 = 0 \Leftrightarrow X = 1;X = 2\)
Vậy hệ có nghiệm \(\left( {2;1} \right),\left( {1;2} \right).\)
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 11\\{x^2} + {y^2} + 3(x + y) = 28\end{array} \right.$ có nghiệm là :
Đặt \(S = x + y,P = xy\left( {{S^2} - 4P \ge 0} \right)\)
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\{S^2} - 2P + 3S = 28\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {S^2} - 2\left( {11 - S} \right) + 3S = 28\)\( \Rightarrow {S^2} + 5S - 50 = 0\) \( \Rightarrow S = 5;S = - 10\)
Khi \(S = 5 \Rightarrow P = 6\) thì \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} - 5X + 6 = 0 \Leftrightarrow X = 2;X = 3\)
Khi \(S = - 10 \Rightarrow P = 21\) thì \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} + 10X + 21 = 0 \Leftrightarrow X = - 3;X = - 7\)
Vậy hệ có nghiệm \(\left( {3;2} \right),\left( {2;3} \right),\left( { - 3; - 7} \right),\left( { - 7; - 3} \right).\)
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 3x + 8y\\{y^3} = 3y + 8x\end{array} \right.$ có nghiệm là \(\left( {x;y} \right)\) với \(x \ne 0\) và \(y \ne 0\) là :
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} = 3x + 8y\\{y^3} = 3y + 8x\end{array} \right.$\( \Rightarrow \) \({x^3} - {y^3} = - 5x + 5y\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = - 5\left( {x - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 5} \right) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} + 5 = 0\end{array} \right.\)
Khi \(x = y\) thì \({x^3} - 11x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \pm \sqrt {11} \)
Khi \({x^2} + xy + {y^2} + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}y} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{y^2} + 5 = 0\) (phương trình vô nghiệm)
Vậy hệ có nghiệm \(\left( { - \sqrt {11} ; - \sqrt {11} } \right);\left( {\sqrt {11} ;\sqrt {11} } \right).\)
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?
- Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right.$\( \Rightarrow {x^2} - {y^2} + y - x = 0\)\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)
- Khi \(x = y\) thì \({x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 3;x = 2\)
- Khi \(y = 1 - x\) thì \({x^2} + 1 - x - 6 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \dfrac{{1 \pm \sqrt {21} }}{2}\)
Vậy hệ phương trình đã cho có \(4\) nghiệm \(\left( { - 3; - 3} \right),\) \(\left( {2;2} \right),\)\(\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right.$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow {4^2} - 2P = {m^2}$$ \Leftrightarrow P = \dfrac{{16 - {m^2}}}{2}$
\( \Rightarrow {S^2} - 4P = 16 - 2\left( {16 - {m^2}} \right) = 2{m^2} - 16 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 \).
Các cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) của hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| + 2\left| y \right| = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right.$ là :
Khi \(x,y \ge 0\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \dfrac{{11}}{9};y = \dfrac{{19}}{9}$ (loại)
Khi \(x,y < 0\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} - x - 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{19}}{9},y = \dfrac{{ - 23}}{9}$ (loại)
Khi \(x \ge 0,y < 0\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow x = 1;y = - 1\) (nhận)
Khi \(x < 0,y \ge 0\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y = 3\\7x + 5y = 2\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow x = - \dfrac{{11}}{{19}};y = \dfrac{{23}}{{19}}\) (nhận)
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1} = 1\\2y + \sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) ?
Điều kiện: \(x,y \ge 1\)
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2x + \sqrt {y - 1} = 1\\2y + \sqrt {x - 1} = 1\end{array} \right.$\( \Rightarrow 2x - 2y + \sqrt {y - 1} - \sqrt {x - 1} = 0\)\( \Rightarrow 2\left( {x - y} \right) + \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = 0}}\)
\( \Rightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} }}} \right) = 0\)
Khi \(x = y\) thì \(2x + \sqrt {x - 1} = 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} = 1 - 2x\) (vô nghiệm do \(x \ge 1\) thì \(VT \ge 0,VP < 0\) )
Khi \(\sqrt {y - 1} + \sqrt {x - 1} = \dfrac{1}{2}\) thì \(2x + 2y + \dfrac{1}{2} = 2 \Rightarrow x + y = \dfrac{3}{4}\) (vô nghiệm vì \(x,y \ge 1\))
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m + 1\\{x^2}y + {y^2}x = 2{m^2} - m - 3\end{array} \right.$ và các mệnh đề :
(I) Hệ có vô số nghiệm khi \(m = - 1\) .
(II) Hệ có nghiệm khi \(m > \dfrac{3}{2}\) .
(III) Hệ có nghiệm với mọi \(m\) .
Các mệnh đề nào đúng ?
- Khi \(m = - 1\) thì hệ trở thành $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\{x^2}y + {y^2}x = 0\end{array} \right.$ \( \Rightarrow \) hệ có vô số nghiệm \( \Rightarrow (I)\) đúng.
- Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = m + 1\\{x^2}y + {y^2}x = 2{m^2} - m - 3\end{array} \right.$\( \Rightarrow xy\left( {m + 1} \right) = 2{m^2} - m - 3\)\( \Rightarrow xy = 2m - 3\)
\( \Rightarrow {S^2} - 4P = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right) = {m^2} - 6m + 13 > 0,\forall m\) đúng
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2xy + {y^2} - 4x - 3y + 2 = 0\\xy + 3{y^2} - 2x - 14y + 16 = 0\end{array} \right.$ có nghiệm là :
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}2xy + {y^2} - 4x - 3y + 2 = 0\\xy + 3{y^2} - 2x - 14y + 16 = 0\end{array} \right.$\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2xy + {y^2} - 4x - 3y + 2 = 0\\2xy + 6{y^2} - 4x - 28y + 32 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 5{y^2} - 25y + 30 = 0\)
\( \Rightarrow y = 3;y = 2\)
Khi \(y = 3\) thì phương trình đầu trở thành \(6x + 9 - 4x - 9 + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\).
Khi \(y = 2\) thì phương trình đầu trở thành \(4x + 4 - 4x - 6 + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in R\)
Cho hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + xy - {y^2} = 0\\{x^2} - xy - {y^2} + 3x + 7y + 3 = 0\end{array} \right.$. Các cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(x,y\) đều là các số nguyên là :
Phương trình $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - y\\2x = y\end{array} \right.$.
Trường hợp 1: $x = - y$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$.
Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là $\left( {1; - 1} \right)$, $\left( {3; - 3} \right)$.
Trường hợp 2: $2x = y$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta được $ - 5{x^2} + 17x + 3 = 0$ phương trình này không có nghiệm nguyên.
Vậy các cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \(x,y\) đều là các số nguyên là $\left( {1; - 1} \right)$ và $\left( {3; - 3} \right)$.
Nếu \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4xy + {y^2} = 1\\y - 4xy = 2\end{array} \right.$ thì \(xy\) bằng bao nhiêu ?
- Trừ vế cho vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) cho \(\left( 2 \right)\) ta được :
\({x^2} + {y^2} - y = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 = 0\)
- Ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0,\forall x\\{y^2} - y + 1 = {\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall y\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {x^2} + {y^2} - y + 1 > 0,\forall x,y\)
Do đó phương trình \({x^2} + {y^2} - y + 1 = 0\) vô nghiệm.
Vậy không tồn tại giá trị của \(xy\).
