Hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt

Ta có : ${x^3} - 3x = {y^3} - 3y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0\end{array} \right.$

Khi $x = y$ thì ${x^6} + {x^6} = 27$ $\Leftrightarrow {x^6} = \dfrac{{27}}{2}$ $\Leftrightarrow x =  \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}$

Do đó hệ có nghiệm $\left( { \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}; \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}} \right)$

Khi ${x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3 - xy$, ta có ${x^6} + {y^6} = 27$$\Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = 27$$\Rightarrow \left( {3 - xy} \right)\left[ {{{\left( {3 - xy} \right)}^2} - 3{x^2}{y^2}} \right] = 27$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 - xy} \right)\left( {9 - 6xy + {x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2}} \right) = 27\\ \Leftrightarrow 27 - 9xy - 18xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} - {x^3}{y^3} - 9{x^2}{y^2} + 3{x^3}{y^3} = 27\\ \Leftrightarrow 2{x^3}{y^3} - 27xy = 0\\ \Leftrightarrow xy\left( {2{x^2}{y^2} - 27} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\{x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2}\end{array} \right.\end{array}$

+) Nếu $x = 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}0 = {y^3} - 3y\\{y^6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt 3$ nên phương trình có hai nghiệm $\left( {0; \pm \sqrt 3 } \right)$.

+) Nếu $y = 0$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = 0\\{x^6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3$ nên phương trình có hai nghiệm $\left( { \pm \sqrt 3 ;0} \right)$.

+) Nếu ${x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\xy =  - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.$

TH1: $xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}$ thì:

${x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0$ nên ph vô nghiệm.

TH2:  $xy =  - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}$ thì:

$\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + 2.\frac{{3\sqrt 6 }}{2} = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\end{array}$

Nên phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho có $6$ nghiệm phân biệt.

Ta có ${x^2} + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow {\left| x \right|^2} + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| = 0\\\left| x \right| =  - 2\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$

Thế vào phương trình thứ hai ta được ${y^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} = 1$.

Vậy ${x^2} + {y^2} = 0 + 1 = 1$.