Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = {y^3} - 3y\\{x^6} + {y^6} = 27\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?
Ta có : \({x^3} - 3x = {y^3} - 3y \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0\end{array} \right.\)
Khi \(x = y\) thì \({x^6} + {x^6} = 27\) \( \Leftrightarrow {x^6} = \dfrac{{27}}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}\)
Do đó hệ có nghiệm \(\left( { \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}; \pm \sqrt[6]{{\dfrac{{27}}{2}}}} \right)\)
Khi ${x^2} + xy + {y^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 3 - xy$, ta có ${x^6} + {y^6} = 27$$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^4} - {x^2}{y^2} + {y^4}} \right) = 27$$ \Rightarrow \left( {3 - xy} \right)\left[ {{{\left( {3 - xy} \right)}^2} - 3{x^2}{y^2}} \right] = 27$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 - xy} \right)\left( {9 - 6xy + {x^2}{y^2} - 3{x^2}{y^2}} \right) = 27\\ \Leftrightarrow 27 - 9xy - 18xy + 6{x^2}{y^2} + 3{x^2}{y^2} - {x^3}{y^3} - 9{x^2}{y^2} + 3{x^3}{y^3} = 27\\ \Leftrightarrow 2{x^3}{y^3} - 27xy = 0\\ \Leftrightarrow xy\left( {2{x^2}{y^2} - 27} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\{x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
+) Nếu \(x = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}0 = {y^3} - 3y\\{y^6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow {y^2} = 3 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt 3 \) nên phương trình có hai nghiệm \(\left( {0; \pm \sqrt 3 } \right)\).
+) Nếu \(y = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3x = 0\\{x^6} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \) nên phương trình có hai nghiệm \(\left( { \pm \sqrt 3 ;0} \right)\).
+) Nếu \({x^2}{y^2} = \frac{{27}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\)
TH1: \(xy = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) thì:
\({x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\) nên ph vô nghiệm.
TH2: \(xy = - \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) thì:
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 3 - xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + 2.\frac{{3\sqrt 6 }}{2} = 3 + \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 3 - \frac{{3\sqrt 6 }}{2} < 0\end{array}\)
Nên phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có \(6\) nghiệm phân biệt.
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2\left| x \right| = 0\\{x^2} = {y^2} - 1\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó \({x^2} + {y^2}\) bằng:
Ta có \({x^2} + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow {\left| x \right|^2} + 2\left| x \right| = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| = 0\\\left| x \right| = - 2\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\)
Thế vào phương trình thứ hai ta được \({y^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} = 1\).
Vậy \({x^2} + {y^2} = 0 + 1 = 1\).
