Các số đặc trưng

Ta có: \(\overline x  = \dfrac{{25.2 + 26.3 + 27.4 + 29.3 + 30.3 + 33.1}}{{16}} = 27,875.\)

Ta có bảng phân bố rời rạc:

 \(\overline x  = \dfrac{{69 + 71 + 74 + 79 + 83.2 + 92}}{7} = \dfrac{{551}}{7}\)

\(S_x^2 = \dfrac{1}{7}\)\(\left( {{{69}^2} + {{71}^2} + {{74}^2} + {{79}^2} + {{2.83}^2} + {{92}^2}} \right)\)\( - {\left( {\dfrac{{551}}{7}} \right)^2} = \dfrac{{2726}}{{49}}\)

\( \Rightarrow {S_x} \approx 7,46.\)  

\(\overline x  = \dfrac{1}{n}\left( {{n_1}.{C_1} + {n_2}{C_2} + ... + {n_k}{C_k}} \right)\)

\( = \dfrac{{\left( {7.4,5 + 65.5,5 + 24.6,5 + 4.7,5} \right)}}{{7 + 65 + 24 + 4}}\)\( = 5,75\)

Ta có: \(s = \sqrt {{s^2}} \) với \(s\) là độ lệch chuẩn và \({s^2}\) là phương sai của số liệu thống kê.

Ta có công thức: \({s^2} = \overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}\)

Với \(\overline x \) là số trung bình cộng của số liệu thống kê và \(\overline {{x^2}} \) là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê, tức là:

\(s = \sqrt {{s^2}} \) với \(s\) là độ lệch chuẩn và \({s^2}\) là phương sai của số liệu thống kê.

Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là \({M_O}.\)

Mốt \({M_0}\) có thể nhỏ hơn số trung bình \(\overline x \).

Công thức tính giá trị trung bình: \(\overline x  = \dfrac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}\)

Công thức tính phương sai: \(s_X^2 = \dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\)

Ta có:

- Giá trị trung bình:

\(\overline x  = \dfrac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}\)\( = \dfrac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1\)

- Phương sai:

\(s_X^2 = \dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right]\)

\( = \dfrac{1}{{40}}\left[ {5{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2}} \right.\) \(\left. { + 11{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]\) \( = 1,54\)

Ta có: \({s_X} = \sqrt {s_X^2} \) là độ lệch chuẩn.

Ta thấy độ lệch chuẩn \({s_X} = \sqrt {s_X^2} \) chính là căn bậc hai của phương sai.

Vậy phương sai bằng bình phương độ lệch chuẩn.

 - Giá trị trung bình:

\(\overline x  = \dfrac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}\)\( = \dfrac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1\)

- Phương sai:

\(s_X^2 = \dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right]\)

\( = \dfrac{1}{{40}}\left[ {5{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2}} \right.\) \(\left. { + 11{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]\) \( = 1,54\)

- Độ lệch chuẩn: \({s_X} = \sqrt {s_X^2}  = \sqrt {1,54}  \approx 1,24\)

Phương sai \(s_X^2 = \dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\)

Do đó độ lệch chuẩn \({s_X} = \sqrt {\dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]} \)

Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất.

Quan sát bảng mẫu số liệu ta thấy giá trị có tần số lớn nhất là \(18\) có tần số \(7\)

Ta có: \(\overline x  = \dfrac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}\)\( = \dfrac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1\)

Do \(n = 20\)(số chẵn) nên \({M_e} = \dfrac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2} = \dfrac{{7 + 8}}{2} = 7,5.\)

\(\overline x  = \dfrac{{1 + 2 + ... + 9}}{9} = 5.\)

Phương sai \(S_x^2 = \dfrac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2} \)\(= \dfrac{{{{\left( {1 - 5} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2} + ... + {{\left( {9 - 5} \right)}^2}}}{9} = \dfrac{{20}}{3}.\)

Độ lệch chuẩn \({S_x} = \sqrt {S_x^2}  = \sqrt {\dfrac{{20}}{3}}  \approx 2,58.\)

Số tiền phải trả khi tiêu thụ hết 40 m³ nước một tháng là:

\(10.6,869 + 10.8,110 + 10.9,969 + 10.18,318 = 432\,660\)(đồng)