Các số đặc trưng

Ta có: $\overline x  = \dfrac{{25.2 + 26.3 + 27.4 + 29.3 + 30.3 + 33.1}}{{16}} = 27,875.$

Ta có bảng phân bố rời rạc:

 $\overline x  = \dfrac{{69 + 71 + 74 + 79 + 83.2 + 92}}{7} = \dfrac{{551}}{7}$

$S_x^2 = \dfrac{1}{7}$$\left( {{{69}^2} + {{71}^2} + {{74}^2} + {{79}^2} + {{2.83}^2} + {{92}^2}} \right)$$- {\left( {\dfrac{{551}}{7}} \right)^2} = \dfrac{{2726}}{{49}}$

$\Rightarrow {S_x} \approx 7,46.$  

$\overline x  = \dfrac{1}{n}\left( {{n_1}.{C_1} + {n_2}{C_2} + ... + {n_k}{C_k}} \right)$

$= \dfrac{{\left( {7.4,5 + 65.5,5 + 24.6,5 + 4.7,5} \right)}}{{7 + 65 + 24 + 4}}$$= 5,75$

Ta có: $s = \sqrt {{s^2}}$ với $s$ là độ lệch chuẩn và ${s^2}$ là phương sai của số liệu thống kê.

Ta có công thức: ${s^2} = \overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}$

Với $\overline x$ là số trung bình cộng của số liệu thống kê và $\overline {{x^2}}$ là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê, tức là:

$s = \sqrt {{s^2}}$ với $s$ là độ lệch chuẩn và ${s^2}$ là phương sai của số liệu thống kê.

Mốt của một bảng phân bố tần số là giá trị có tần số lớn nhất và được kí hiệu là ${M_O}.$

Mốt ${M_0}$ có thể nhỏ hơn số trung bình $\overline x$.

Công thức tính giá trị trung bình: $\overline x  = \dfrac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}$

Công thức tính phương sai: $s_X^2 = \dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Ta có:

- Giá trị trung bình:

$\overline x  = \dfrac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}$$= \dfrac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1$

- Phương sai:

$s_X^2 = \dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right]$

$= \dfrac{1}{{40}}\left[ {5{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2}} \right.$ $\left. { + 11{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]$ $= 1,54$

Ta có: ${s_X} = \sqrt {s_X^2}$ là độ lệch chuẩn.

Ta thấy độ lệch chuẩn ${s_X} = \sqrt {s_X^2}$ chính là căn bậc hai của phương sai.

Vậy phương sai bằng bình phương độ lệch chuẩn.

 - Giá trị trung bình:

$\overline x  = \dfrac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}$$= \dfrac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1$

- Phương sai:

$s_X^2 = \dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right]$

$= \dfrac{1}{{40}}\left[ {5{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2}} \right.$ $\left. { + 11{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]$ $= 1,54$

- Độ lệch chuẩn: ${s_X} = \sqrt {s_X^2}  = \sqrt {1,54}  \approx 1,24$

Phương sai $s_X^2 = \dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Do đó độ lệch chuẩn ${s_X} = \sqrt {\dfrac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]}$

Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất.

Quan sát bảng mẫu số liệu ta thấy giá trị có tần số lớn nhất là $18$ có tần số $7$

Ta có: $\overline x  = \dfrac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}$$= \dfrac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1$

Do $n = 20$(số chẵn) nên ${M_e} = \dfrac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2} = \dfrac{{7 + 8}}{2} = 7,5.$

$\overline x  = \dfrac{{1 + 2 + ... + 9}}{9} = 5.$

Phương sai $S_x^2 = \dfrac{1}{n}{\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}\left( {{x_i} - \overline x } \right)} ^2}$$= \dfrac{{{{\left( {1 - 5} \right)}^2} + {{\left( {2 - 5} \right)}^2} + ... + {{\left( {9 - 5} \right)}^2}}}{9} = \dfrac{{20}}{3}.$

Độ lệch chuẩn ${S_x} = \sqrt {S_x^2}  = \sqrt {\dfrac{{20}}{3}}  \approx 2,58.$

Số tiền phải trả khi tiêu thụ hết 40 m³ nước một tháng là:

$10.6,869 + 10.8,110 + 10.9,969 + 10.18,318 = 432\,660$(đồng)