Hiệu của hai véc tơ

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên $GB \bot AC$ và $GB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Vẽ hình bình hành $BGCD$. Khi đó $\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {DC}$$\Rightarrow CD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}$$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BG} } \right| = AD$

Vì $GB \bot AC$ nên $AC \bot CD$. Suy ra $AD = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BG} } \right| = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

N là trung điểm của AC nên $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MN}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AE} \end{array}$

Khi đó M là điểm thỏa mãn AENM là hình bình hành.

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có $\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB}  =  - \overrightarrow {BC}$.Vậy A sai.

Đáp án B. Ta có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AD}  \ne \overrightarrow {BC}$ (với $D$ là điểm thỏa mãn $ABDC$ là hình bình hành). Vậy B sai.

Đáp án C. Ta có $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB}$. Vậy C đúng.

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có $\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD}$. Vậy A đúng.

Đáp án B. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {CB}  =  - \overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {AD} \end{array} \right.$. Vậy B sai.

Đáp án C. Ta có $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} .$ Vậy C đúng.

Đáp án D. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AC} \end{array} \right.$. Vậy D đúng.       

Điều kiện cần và đủ để $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $\overrightarrow {IA}  =  - \overrightarrow {IB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$

Ta có $\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {DA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt 2 .$

Ta có $\overrightarrow {AB}  =  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {DC}$. Do đó:

$\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ ngược hướng.

$\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng độ dài.

$ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ không cùng giá.

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow 0 .$

Gọi $D$ là điểm thỏa mãn tứ giác $ACHD$ là hình bình hành $\Rightarrow CH = AD \Rightarrow AD = HB$.

$\Rightarrow AHBD$ là hình chữ nhật $\Rightarrow BD = AH$.

$\left| {\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {HC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CH} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right| = CD.$

Ta có $CD = \sqrt {B{D^2} + B{C^2}}  = \sqrt {A{H^2} + B{C^2}}$$= \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + {a^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}$

Do $\Delta ABC$ cân tại $A$, $AH$ là đường cao nên $H$ là trung điểm $BC$.

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = a\\\left| {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HC} } \right|.$

Đáp án B. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BH} \\\overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CH}  =  - \overrightarrow {BH} \end{array} \right..$ Do đó B sai.

Đáp án C. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {HC}  - \overrightarrow {HA}  = \overrightarrow {AC} \end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {HC}  - \overrightarrow {HA}$

Đáp án D. Ta có $\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AH} } \right| = \left| {\overrightarrow {HB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AH} } \right|$ (do $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$).

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} .$

Suy ra $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} .$

Ta có $\overrightarrow {AO}  - \overrightarrow {DO}  =  - \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}$

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có $\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {CA} .$

Đáp án B. Ta có $- \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {CA} .$

Đáp án C. Ta có $\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DA}  =  - \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} } \right) =  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CA} .$

Đáp án D. Ta có $\overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BC}  =  - \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CB} } \right) =  - \overrightarrow {CA} .$

Ta có $OF,\;OE$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $\Delta BCD$ và $\Delta ABC$.

$\Rightarrow BEOF$ là hình bình hành.

$\overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {BO}$$\Rightarrow \overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {BF}  - \overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {BO}  - \overrightarrow {DO}$ $= \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BD}$

Ta có $\left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BA} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AM} } \right| \Rightarrow AM = BC$

Mà $A,\;B,\;C$ cố định $\Rightarrow$ Tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $BC$.

$\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MD}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MA}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AD}$: vô lí

$\Rightarrow$ Không có điểm $M$ thỏa mãn.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = BD\\\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\end{array} \right..$

$BD = AC \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right|.$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}$ (qui tắc 3 điểm).

Theo qui tắc $3$ điểm ta có: $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {CO}$.

Ta có: $\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {BA}  \ne \overrightarrow 0$ nên A sai.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {BO} } \right| = \left| {\overrightarrow {CO}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = a$.