Tập hợp

Các tập con có \(4\) phần tử có chứa ba phần tử \(\alpha ,\pi ,\rho \) là:

\(\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\beta } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\xi } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\eta } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\gamma } \right\},\)\(\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\sigma } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\omega } \right\}\left\{ {\alpha ,\rho ,\pi ,\tau } \right\}\).

Vậy có \(7\) tập hợp thỏa mãn bài toán.

Vì \(A = B\) nên \(x = 2.\) Lại do \(B = C\) nên \(y = x = 2\) hoặc \(y = 5.\)

Vậy \(x = y = 2\) hoặc \(x = 2,\,y = 5.\)

\(\begin{array}{l}\left| k \right| \le 2 \Leftrightarrow \left| k \right| \in \left\{ {0;1;2} \right\}\\\Rightarrow {k^2}  \in \left\{ {0;1;4} \right\}\Rightarrow {k^2} + 1 \in \left\{ {1;2;5} \right\}\\A = \left\{ {{k^2} + 1|k \in \mathbb{N},\left| k \right| \le 2} \right\} = \left\{ {1;2;5} \right\}\end{array}\)

Số nguyên lớn nhất đồng thời nhỏ hơn $\pi$ là 3.

Các số nguyên từ -2 đến 3 là: $-2; - 1;0;1;2;3$

Tập \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\,| - 3 < x < \pi } \right\}\) được viết dưới dạng liệt kê phần tử là:

\(A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\)

A là tập các số chẵn từ 0 đến 8 nên \(A = \left\{ {2x \in \mathbb{N}\left| {x \le 4} \right.} \right\}\)

là tập các số tự nhiên chia hết cho 3 không vượt quá 15 nên

\(B = \left\{ {3x \in \mathbb{N}\left| {3 \le 3x \le 15} \right.} \right\} = \left\{ {3x \in \mathbb{N}\left| {1 \le x \le 5} \right.} \right\}\)

\(C = \left\{ {{2^0};{2^1};{2^2};{2^3};{2^4}} \right\}\)\(= \left\{{ {2^x} \in \mathbb{N}|x \le 4} \right\}\)

Vì \( \mathbb{N}\) là tập các số tự nhiên nên nên \(x \ge 0\), suy ra \(M = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {0 \le x \le 1000} \right.} \right\}\). Số phần tử của \(M\) là \(1000-0+1=1001\).

\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}; - 3 < x \le 4} \right\}\) \( \Rightarrow A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Vậy tập hợp A có 7 phần tử.\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}; - 3 < x \le 4} \right\}\) \( \Rightarrow A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Vậy tập hợp A có 7 phần tử.

Tập hợp A có 3 phần tử nên có \({2^3} = 8\) tập con.

+) Xét đáp án A: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\\left| x \right| < 1\end{array} \right. \Rightarrow  - 1 < x < 1\) \( \Rightarrow A = \left( { - 1;\,\,1} \right) \ne \emptyset \)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

+) Xét đáp án B: \(6{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{6}\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow B = \left\{ 1 \right\} \ne \emptyset \)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án B.

+) Xét đáp án C: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\\x = 2 - \sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C = \emptyset \)

+ Xét đáp án D: 

\(\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \mathbb{N}\\x = 3 \in \mathbb{N}\end{array} \right.\\ \Rightarrow D = \left\{ {1;3} \right\} \ne \emptyset \end{array}\)

*) Xét tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Q}|\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0} \right\}\)

Ta có: \(\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 9 = 0\\2x - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\in \mathbb{Q}\) (thỏa mãn)

Do vậy, tập hợp \(A\) có \(1\) phần tử.

*) Xét tập hợp \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left( {2x - 3{x^2}} \right)\left( {{x^4} - 1} \right) = 0} \right\}\)

Ta có: \(\left( {2x - 3{x^2}} \right)\left( {{x^4} - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3{x^2} = 0\\{x^4} - 1 = 0\end{array} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {2 - 3x} \right) = 0\\\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{2}{3}\\x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Do vậy, tập hợp \(B\) có \(4\) phần tử.

Vậy tổng số phần tử của tập hợp \(A\) và tập hợp \(B\) là \(5\) phần tử.

\(2{x^2} - 7x + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 5 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2} \in \mathbb{R}\\x = 1\in \mathbb{R}\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy \(X = \left\{ {1;\,\,\dfrac{5}{2}} \right\}\).

Vì \(7\) là một số tự nhiên khác \(0\) nên \(7 \in {\mathbb{N}^*}\).

\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}; - 3 < x \le 4} \right\}\) gồm các số nguyên từ \(-2\) đến \(4\).

\( \Rightarrow A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Vậy tập hợp A có 7 phần tử.

Vì \(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ nên \(\sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\).

Nếu \(x\) là một phần tử thuộc tập hợp \(A\) thì \(x \in A\); \(\left\{ x \right\} \subset A\) nên các mệnh đề (I) và (IV) đúng.

Do \(A \ne \emptyset \) nên \(A\) không phải tập rỗng, nghĩa là tập \(A\) có ít nhất \(1\) phần tử.

Khi đó \(\exists x,x \in A\).

Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 2}}{x} = x + \dfrac{2}{x} \in \mathbb{Z}\) với \(x \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{2}{x} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2\,\, \vdots \,\,x \Leftrightarrow x \in U\left( 2 \right) \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;\,\,1;\,\,2} \right\}.\)

Vậy  \(A = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.\)

Ta có $2{x^2} - 5x + 3 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \mathbb{R}\\x = \dfrac{3}{2} \in \mathbb{R}\end{array} \right.$ nên \(X = \left\{ {1;\dfrac{3}{2}} \right\}.\)

Ta có $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} - 7x + 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\x - 1 = 0\\2{x^2} - 7x + 3 = 0\end{array} \right.\,$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \notin \mathbb{N}\\x = 2 \in \mathbb{N}\\x = 1 \in \mathbb{N}\\x = \dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\\x = 3 \in \mathbb{N}\end{array} \right.$

Suy ra \(S = 2 + 1 + 3 = 6.\)

\(H = \left\{ {x \in Z| - 2 \le x < 3} \right\} = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).