Tập hợp

Các tập con có $4$ phần tử có chứa ba phần tử $\alpha ,\pi ,\rho$ là:

$\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\beta } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\xi } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\eta } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\gamma } \right\},$$\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\sigma } \right\},\left\{ {\alpha ,\pi ,\rho ,\omega } \right\}\left\{ {\alpha ,\rho ,\pi ,\tau } \right\}$.

Vậy có $7$ tập hợp thỏa mãn bài toán.

Vì $A = B$ nên $x = 2.$ Lại do $B = C$ nên $y = x = 2$ hoặc $y = 5.$

Vậy $x = y = 2$ hoặc $x = 2,\,y = 5.$

$\begin{array}{l}\left| k \right| \le 2 \Leftrightarrow \left| k \right| \in \left\{ {0;1;2} \right\}\\\Rightarrow {k^2}  \in \left\{ {0;1;4} \right\}\Rightarrow {k^2} + 1 \in \left\{ {1;2;5} \right\}\\A = \left\{ {{k^2} + 1|k \in \mathbb{N},\left| k \right| \le 2} \right\} = \left\{ {1;2;5} \right\}\end{array}$

Số nguyên lớn nhất đồng thời nhỏ hơn $\pi$ là 3.

Các số nguyên từ -2 đến 3 là: $-2; - 1;0;1;2;3$

Tập $A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\,| - 3 < x < \pi } \right\}$ được viết dưới dạng liệt kê phần tử là:

$A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}$

A là tập các số chẵn từ 0 đến 8 nên $A = \left\{ {2x \in \mathbb{N}\left| {x \le 4} \right.} \right\}$

là tập các số tự nhiên chia hết cho 3 không vượt quá 15 nên

$B = \left\{ {3x \in \mathbb{N}\left| {3 \le 3x \le 15} \right.} \right\} = \left\{ {3x \in \mathbb{N}\left| {1 \le x \le 5} \right.} \right\}$

$C = \left\{ {{2^0};{2^1};{2^2};{2^3};{2^4}} \right\}$$= \left\{{ {2^x} \in \mathbb{N}|x \le 4} \right\}$

Vì $\mathbb{N}$ là tập các số tự nhiên nên nên $x \ge 0$, suy ra $M = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {0 \le x \le 1000} \right.} \right\}$. Số phần tử của $M$ là $1000-0+1=1001$.

$A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}; - 3 < x \le 4} \right\}$ $\Rightarrow A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

Vậy tập hợp A có 7 phần tử.$A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}; - 3 < x \le 4} \right\}$ $\Rightarrow A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

Vậy tập hợp A có 7 phần tử.

Tập hợp A có 3 phần tử nên có ${2^3} = 8$ tập con.

+) Xét đáp án A: $\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\\left| x \right| < 1\end{array} \right. \Rightarrow  - 1 < x < 1$ $\Rightarrow A = \left( { - 1;\,\,1} \right) \ne \emptyset$

$\Rightarrow$ Loại đáp án A.

+) Xét đáp án B: $6{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{6}\end{array} \right.$  $\Rightarrow B = \left\{ 1 \right\} \ne \emptyset$

$\Rightarrow$ Loại đáp án B.

+) Xét đáp án C: ${x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 2 \notin \mathbb{Q}\\x = 2 - \sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\end{array} \right.$ $\Rightarrow C = \emptyset$

+ Xét đáp án D: 

$\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \mathbb{N}\\x = 3 \in \mathbb{N}\end{array} \right.\\ \Rightarrow D = \left\{ {1;3} \right\} \ne \emptyset \end{array}$

*) Xét tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{Q}|\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0} \right\}$

Ta có: $\left( {{x^2} + 9} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 9 = 0\\2x - 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\in \mathbb{Q}$ (thỏa mãn)

Do vậy, tập hợp $A$ có $1$ phần tử.

*) Xét tập hợp $B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left( {2x - 3{x^2}} \right)\left( {{x^4} - 1} \right) = 0} \right\}$

Ta có: $\left( {2x - 3{x^2}} \right)\left( {{x^4} - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3{x^2} = 0\\{x^4} - 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {2 - 3x} \right) = 0\\\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{2}{3}\\x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Do vậy, tập hợp $B$ có $4$ phần tử.

Vậy tổng số phần tử của tập hợp $A$ và tập hợp $B$ là $5$ phần tử.

$2{x^2} - 7x + 5 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 5 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2} \in \mathbb{R}\\x = 1\in \mathbb{R}\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy $X = \left\{ {1;\,\,\dfrac{5}{2}} \right\}$.

Vì $7$ là một số tự nhiên khác $0$ nên $7 \in {\mathbb{N}^*}$.

$A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}; - 3 < x \le 4} \right\}$ gồm các số nguyên từ $-2$ đến $4$.

$\Rightarrow A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}$.

Vậy tập hợp A có 7 phần tử.

Vì $\sqrt 2$ không là số hữu tỉ nên $\sqrt 2  \notin \mathbb{Q}$.

Nếu $x$ là một phần tử thuộc tập hợp $A$ thì $x \in A$; $\left\{ x \right\} \subset A$ nên các mệnh đề (I) và (IV) đúng.

Do $A \ne \emptyset$ nên $A$ không phải tập rỗng, nghĩa là tập $A$ có ít nhất $1$ phần tử.

Khi đó $\exists x,x \in A$.

Ta có $\dfrac{{{x^2} + 2}}{x} = x + \dfrac{2}{x} \in \mathbb{Z}$ với $x \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{2}{x} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2\,\, \vdots \,\,x \Leftrightarrow x \in U\left( 2 \right) \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;\,\,1;\,\,2} \right\}.$

Vậy  $A = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.$

Ta có $2{x^2} - 5x + 3 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \mathbb{R}\\x = \dfrac{3}{2} \in \mathbb{R}\end{array} \right.$ nên $X = \left\{ {1;\dfrac{3}{2}} \right\}.$

Ta có $\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} - 7x + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\x - 1 = 0\\2{x^2} - 7x + 3 = 0\end{array} \right.\,$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2 \notin \mathbb{N}\\x = 2 \in \mathbb{N}\\x = 1 \in \mathbb{N}\\x = \dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}\\x = 3 \in \mathbb{N}\end{array} \right.$

Suy ra $S = 2 + 1 + 3 = 6.$

$H = \left\{ {x \in Z| - 2 \le x < 3} \right\} = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$.