{x2−7x+6<0|2x−1|<3⇔{(x−1)(x−6)<0−3<2x−1<3⇔{1<x<6−2<2x<4⇔{1<x<6−1<x<2⇔1<x<2.
Tập nghiệm của bất phương trình |x−2|>x+1 là
\(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| > x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} > {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\4 - 4x > 2x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\6x < 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ x<−1−1≤x<12 \right. \Leftrightarrow x < \dfrac{1}{2}.\end{array}\)
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như bình trên. Bảng xét dấu của f(x) là bảng nào sau đây ?
Nhìn vào đồ thị ta thấy với x∈(−∞;−2)∪(0;1) thì f(x)<0, với x∈(−2;0)∪(1;+∞) thì f(x)>0
Vậy B đúng.
Tập nghiệm của bất phương trình |5x−4|≥6 có dạng S=(−∞;a]∪[b;+∞).
Tính tổng P=5a+b.
Ta có |5x−4|≥6⇔[5x−4≥65x−4≤−6⇔[5x≥105x≤−2⇔[x≥2x≤−25
⇒S=(−∞;−25]∪[2;+∞).
Khi đó S=(−∞;a]∪[b;+∞)⇒a=−25;b=2. Vậy P=5a+b=5.(−25)+2=0.
Bất phương trình: |3x−3|≤|2x+1| có nghiệm là:
Ta có |3x−3|≤|2x+1|⇔|3x−3|2≤|2x+1|2⇔(3x−3)2−(2x+1)2≤0
⇔(3x−3−2x−1)(3x−3+2x+1)≤0⇔(x−4)(5x−2)≤0⇔25≤x≤4.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=[25;4].
Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình x+12≥|2x−4| là:
TH1. Với 2x−4≥0⇔x≥2, ta có x+12≥|2x−4|⇔x+12≥2x−4⇔x≤16.
Kết hợp với điều kiện x≥2, ta được tập nghiệm S1=[2;16].
TH2. Với 2x−4<0⇔x<2, ta có x+12≥−2x+4⇔3x≥−8⇔x≥−83.
Kết hợp với điều kiện x<2, ta được tập nghiệm S2=[−83;2).
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S=S1∪S2=[−83;16].
Do x nguyên nên x∈{−2;−1;0;...;16} nên có: (16-(-2)):1+1=19 giá trị.
Vậy số nghiệm nguyên x thỏa mãn bất phương trình là 19.
Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x)=x+2x−1 với x>1.
Ta có f(x)=x+2x−1=x−1+2x−1+1≥2√(x−1).2x−1+1=2√2+1.
Dấu xảy ra ⇔{x>1x−1=2x−1⇔x=1+√2. Vậy m=2√2+1.
Bất phương trình √x2−x−12<x có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên trên [−2018;2018] ?
Bất phương trình √x2−x−12<x⇔{x>0x2−x−12≥0x2−x−12<x2⇔{x>0[x≥4x≤−3x>−12⇔x≥4.
Kết hợp với điều kiện x∈Z và x∈[−2018;2018]⇒x∈[4;2018] ⇒ có 2015 nghiệm nguyên thỏa mãn.
Tập nghiệm của bất phương trình |x2−5x+4|≤x2+6x+5 là:
Ta có: |x2−5x+4|≤x2+6x+5⇔[{x2−5x+4≥0x2−5x+4≤x2+6x+5{x2−5x+4<0−x2+5x−4≤x2+6x+5⇔[{x2−5x+4≥011x≥−1{x2−5x+4<02x2+x+9>0⇔[x≥4−111≤x≤11<x<4.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=[−111;+∞).
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f(x)=(6x+3)(5−2x) với x∈[−12;52].
Áp dụng bất đẳng thức hệ quả của Côsi ab≤(a+b)24
Ở đây a=2x+1,b=5−2x không âm ta được:
f(x)=3(2x+1)(5−2x)≤3.(2x+1+5−2x)24=27⇒f(x)≤27.
Dấu "=" xảy ra ⇔{−12≤x≤522x+1=5−2x⇔x=1.
Vậy M=27.
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình |2−xx+1|≥2 ?
Điều kiện: x+1≠0⇔x≠−1.
Bất phương trình |2−xx+1|≥2⇔[2−xx+1≥22−xx+1≤−2 ⇔[2−xx+1−2≥02−xx+1+2≤0 ⇔[−3xx+1≥0(1)4+xx+1≤0(2)
Giải (1), ta có bất phương trình (1)⇔xx+1≤0⇔−1<x≤0.
Giải (2), ta có bất phương trình (2)⇔−4≤x<−1.
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S=[−4;−1)∪(−1;0].
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên x cần tìm là x={−4;−3;−2;0}.
Tập nghiệm của bất phương trình √−x2+6x−5>8−2x có dạng (a;b]. Tính a2−2b.
Bất phương trình √−x2+6x−5>8−2x ⇔[{−x2+6x−5≥08−2x<0(1){8−2x≥0−x2+6x−5>(8−2x)2(2).
Giải (1), ta có (1)⇔{−x2+6x−5≥08−2x<0 ⇔{x2−6x+5≤0x>4 ⇔{1≤x≤5x>4⇔4<x≤5.
Giải (2), ta có (2)⇔{x≤4−x2+6x−5>4x2−32x+64 ⇔{x≤45x2−38x+69<0 ⇔3<x≤4.
Kết hợp với hai TH, ta được tập nghiệm của bất phương trình là S=(3;5]=(a;b]⇒{a=3b=5.
Hay a2−2b=32−2.5=−1.
Tập nghiệm của bất phương trình 2x2+4x+3√3−2x−x2>1 có dạng S=[a;b]. Tính a−b.
Điều kiện: 3−2x−x2≥0⇔x∈[−3;1]. Đặt t=√3−2x−x2≥0⇔x2+2x=3−t2.
Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: 2(3−t2)+3t>1⇔2t2−3t−5<0⇔−1<t<52.
Kết hợp điều kiện: t≥0, ta được 0≤t<52⇔√3−2x−x2<52⇔{−3≤x≤14(3−2x−x2)<25
⇔{−3≤x≤14x2+8x+13>0⇔{−3≤x≤14(x+1)2+9>0⇔−3≤x≤1.
Vậy S=[−3;1]=[a;b]⇒a−b=−4.
Cho x>8y>0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F=x+1y(x−8y) là:
Ta có F=x+1y(x−8y)=(x−8y)+8y+1y(x−8y).
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F≥33√(x−8y).8y.1y(x−8y)=33√8=6.
Dấu ''='' xảy ra ⇔x−8y=8y=1y(x−8y)⇔{x=4y=14.
Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a>0,b>0 và f(x)=ax2+bx+c≥0 với mọi x∈R. Tìm giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F = \dfrac{{4a + c}}{b}.
Do hàm số f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta = {b^2} - 4ac \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\4ac \ge {b^2}>0\end{array} \right.
Mà a > 0 nên c > 0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có F = \dfrac{{4a + c}}{b} \ge \dfrac{{2\sqrt {4ac} }}{b} \ge \dfrac{{2\sqrt {{b^2}} }}{b} = \dfrac{{2b}}{b} = 2.
Dấu "=" xảy ra khi \left\{ \begin{array}{l}c = 4a\\{b^2} = 4ac\end{array} \right. \Leftrightarrow b = c = 4a.
Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f\left( x \right) = x + \sqrt {8 - {x^2}}.
Ta có {f^2}\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {8 - {x^2}} } \right)^2} = {x^2} + 2x\sqrt {8 - {x^2}} + 8 - {x^2} = 8 + 2x\sqrt {8 - {x^2}} .
Áp dụng bất đẳng thức 2ab \le {a^2} + {b^2} với a = x,b = \sqrt {8 - {x^2}} ta có:
2x\sqrt {8 - {x^2}} \le {x^2} + {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} } \right)^2} = 8
\Rightarrow {f^2}\left( x \right) = 8 + 2x\sqrt {8 - {x^2}} \le 8 + 8 = 16 \Rightarrow f\left( x \right) \le 4.
Dấu '' = '' xảy ra
\Leftrightarrow x = \sqrt {8 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 8 - {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2
Vậy M = 4 khi x=2.
Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình \left| {x + 2} \right| + \left| { - 2x + 1} \right| \le x + 1 là:
Xét bất phương trình \left| {x + 2} \right| + \left| { - \,2x + 1} \right| \le x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).
Bảng xét dấu
TH1. Với x < - \,2, khi đó \left( * \right) \Leftrightarrow \left( { - \,x - 2} \right) + \left( { - \,2x + 1} \right) \le x + 1 \Leftrightarrow - \,2 \le 4x \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{1}{2}.
Kết hợp với điều kiện x < - \,2, ta được tập nghiệm {S_1} = \emptyset .
TH2. Với - \,2 \le x < - \dfrac{1}{2}, khi đó \left( * \right) \Leftrightarrow x + 2 - 2x + 1 \le x + 1 \Leftrightarrow 2x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 1.
Kết hợp với điều kiện - \,2 \le x < \dfrac{1}{2}, ta được tập nghiệm {S_2} = \emptyset .
TH3. Với x \ge \dfrac{1}{2}, khi đó \left( * \right) \Leftrightarrow x + 2 - \left( { - 2x + 1} \right) \le x + 1 \Leftrightarrow 2x \le 0 \Leftrightarrow x \le 0.
Kết hợp với điều kiện x \ge \dfrac{1}{2}, ta được tập nghiệm {S_3} = \emptyset .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {S_1} \cup {S_2} \cup {S_3} = \emptyset .
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \left| {\dfrac{{2 - 3\left| x \right|}}{{1 + x}}} \right| \le 1 là:
Điều kiện: x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \,1.
TH1. Với x \ge 0, ta có \left| {\dfrac{{2 - 3\left| x \right|}}{{1 + x}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2 - 3x}}{{x + 1}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow - \,1 \le \dfrac{{2 - 3x}}{{x + 1}} \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{3}{2}.
Kết hợp với điều kiện x \ge 0, ta được tập nghiệm {S_1} = \left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{2}} \right].
TH2. Với x < 0, ta có \left| {\dfrac{{2 - 3\left| x \right|}}{{1 + x}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2 + 3x}}{{x + 1}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow - \,1 \le \dfrac{{2 + 3x}}{{x + 1}} \le 1 \Leftrightarrow - \dfrac{3}{4} \le x \le - \dfrac{1}{2}.
Kết hợp với điều kiện x < 0, ta được tập nghiệm {S_2} = \left[ { - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right].
Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là S = {S_1} \cup {S_2} = \left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ { - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right].
Vậy số nghiệm nguyên x cần tìm là 1\,\,\,\left( {x = 1} \right).
Cho hai số thực dương x,{\rm{ }}y thỏa mãn x + y + xy \ge 7. Giá trị nhỏ nhất của S = x + 2y là:
Từ giả thiết x + y + xy \ge 7 \Leftrightarrow 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) \ge 16.
Ta có 16 \le 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {2y + 2} \right) \le {\left( {\dfrac{{1 + x + 2y + 2}}{2}} \right)^2}
\Leftrightarrow {\left( {x + 2y + 3} \right)^2} \ge 64 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2y \ge 5\\x + 2y \le - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow x + 2y \ge 5 (do x,y > 0).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} \ge 4x - 15 + 4\sqrt {{x^2} - 4}
Điều kiện: x \ge 2. Đặt t = \sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} = 2x + 2\sqrt {{x^2} - 4} \Leftrightarrow 2{t^2} = 4x + 4\sqrt {{x^2} - 4} .
Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với: t \ge 2{t^2} - 15 \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 15 \le 0 \Leftrightarrow - \,\dfrac{5}{2} \le t \le 3.
Kết hợp điều kiện t \ge 0, ta được 0 \le t \le 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\sqrt {x - 2} + \sqrt {x + 2} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2x + 2\sqrt {{x^2} - 4} \le 9\end{array} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2\sqrt {{x^2} - 4} \le 9 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \dfrac{9}{2}\\4\left( {{x^2} - 4} \right) \le {\left( {9 - 2x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \dfrac{9}{2}\\4{x^2} - 16 \le 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le \dfrac{{97}}{{36}}.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \left[ {2;\dfrac{{97}}{{36}}} \right] chứa nghiệm nguyên duy nhất x = 2.
