Câu hỏi:
2 năm trước

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực thỏa mãn \(a > 0,\,\,b > 0\) và \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\) với mọi $x \in \mathbb{R}.$ Tìm giá trị nhỏ nhất \({F_{\min }}\) của biểu thức \(F = \dfrac{{4a + c}}{b}.\)

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: b

Do hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  = {b^2} - 4ac \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\4ac \ge {b^2}>0\end{array} \right.\)

Mà a > 0 nên c > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(F = \dfrac{{4a + c}}{b} \ge \dfrac{{2\sqrt {4ac} }}{b} \ge \dfrac{{2\sqrt {{b^2}} }}{b} = \dfrac{{2b}}{b} = 2.\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}c = 4a\\{b^2} = 4ac\end{array} \right. \Leftrightarrow b = c = 4a.\)

Hướng dẫn giải:

Tìm điều kiện để $f\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in R$, từ đó sử dụng bất đẳng thức Cosi tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi khác