Tập nghiệm của bất phương trình $2{x^2} + 4x + 3\sqrt {3 - 2x - {x^2}}  > 1$ có dạng $S = \left[ {a;b} \right].$ Tính $a - b.$

Điều kiện: $3 - 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \,3;1} \right].$ Đặt $t = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}  \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 3 - {t^2}.$

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: $2\left( {3 - {t^2}} \right) + 3t > 1 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 < 0 \Leftrightarrow  - \,1 < t < \dfrac{5}{2}.$

Kết hợp điều kiện: $t \ge 0,$ ta được $0 \le t < \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \sqrt {3 - 2x - {x^2}}  < \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 1\\4\left( {3 - 2x - {x^2}} \right) < 25\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 1\\4{x^2} + 8x + 13 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 1\\4{\left( {x + 1} \right)^2} + 9 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \,3 \le x \le 1.$

Vậy $S = \left[ { - \,3;1} \right] = \left[ {a;b} \right] \Rightarrow a - b =  - \,4.$