Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt {x + 2}  + \sqrt {x - 2}  \ge 4x - 15 + 4\sqrt {{x^2} - 4} $

Điều kiện: $x \ge 2.$ Đặt $t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {x - 2}  \ge 0 \Leftrightarrow {t^2} = 2x + 2\sqrt {{x^2} - 4}  \Leftrightarrow 2{t^2} = 4x + 4\sqrt {{x^2} - 4} .$

Khi đó, bất phương trình đã cho tương đương với: $t \ge 2{t^2} - 15 \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 15 \le 0 \Leftrightarrow  - \,\dfrac{5}{2} \le t \le 3.$

Kết hợp điều kiện $t \ge 0,$ ta được $0 \le t \le 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\sqrt {x - 2}  + \sqrt {x + 2}  \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2x + 2\sqrt {{x^2} - 4}  \le 9\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2\sqrt {{x^2} - 4}  \le 9 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \dfrac{9}{2}\\4\left( {{x^2} - 4} \right) \le {\left( {9 - 2x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le \dfrac{9}{2}\\4{x^2} - 16 \le 4{x^2} - 36x + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le \dfrac{{97}}{{36}}.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {2;\dfrac{{97}}{{36}}} \right]$ chứa nghiệm nguyên duy nhất $x = 2.$