Số nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình $\left| {x + 2} \right| + \left| { - 2x + 1} \right| \le x + 1$ là:

Xét bất phương trình $\left| {x + 2} \right| + \left| { - \,2x + 1} \right| \le x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(  *  \right).$

Bảng xét dấu

TH1. Với $x <  - \,2,$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow \left( { - \,x - 2} \right) + \left( { - \,2x + 1} \right) \le x + 1 \Leftrightarrow  - \,2 \le 4x \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{2}.$

Kết hợp với điều kiện $x <  - \,2,$ ta được tập nghiệm ${S_1} = \emptyset .$

TH2. Với $ - \,2 \le x <  - \dfrac{1}{2},$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow x + 2 - 2x + 1 \le x + 1 \Leftrightarrow 2x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 1.$

Kết hợp với điều kiện $ - \,2 \le x < \dfrac{1}{2},$ ta được tập nghiệm ${S_2} = \emptyset .$

TH3. Với $x \ge \dfrac{1}{2},$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow x + 2 - \left( { - 2x + 1} \right) \le x + 1 \Leftrightarrow 2x \le 0 \Leftrightarrow x \le 0.$

Kết hợp với điều kiện $x \ge \dfrac{1}{2},$ ta được tập nghiệm ${S_3} = \emptyset .$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = {S_1} \cup {S_2} \cup {S_3} = \emptyset .$