Bất phương trình $2\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {10 - x} } \right) - \sqrt {30 + 7x - {x^2}} \ge 4$ có bao nhiêu nghiệm nguyên ?
Điều kiện: $30 + 7x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \,3;10} \right].$
Đặt $t = \sqrt {x + 3} + \sqrt {10 - x} \Leftrightarrow {t^2} = 13 + 2\sqrt {30 + 7x - {x^2}} $
Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: $2t - \dfrac{{{t^2} - 13}}{2} \ge 4 \Leftrightarrow {t^2} - 4t - 5 \le 0 \Leftrightarrow - \,1 \le t \le 5.$
Kết hợp điều kiện: $t \ge 0,$ ta được $\sqrt {x + 3} + \sqrt {10 - x} \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\13 + 2\sqrt {30 + 7x - {x^2}} \le 25\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\\sqrt {30 + 7x - {x^2}} \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\{x^2} - 7x + 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 \le x \le 10\\ - \,3 \le x \le 1\end{array} \right..$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {6;10} \right] \cup \left[ { - \,3;1} \right]$ chứa 10 nghiệm nguyên.
Tập nghiệm của bất phương trình $x + 1 + \sqrt {{x^2} - 4x + 1} \ge 3\sqrt x $ có dạng $S = \left[ {a;b} \right] \cup \left[ {c; + \,\infty } \right),$ với $a,\,\,b,\,\,c$ là các số thực dương. Tính tổng $P = 2a + 4b - c.$
Điều kiện: $0 \le x \le 2 - \sqrt 3 $ hoặc $x \ge 2 + \sqrt 3 $ $\left( * \right).$
Nhận xét: $x = 0$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Với $x > 0,$ bất phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt {x + \dfrac{1}{x} - 4} \ge 3$ $\left( 1 \right).$
Đặt $t = \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow {t^2} = x + \dfrac{1}{x} + 2$ bất phương trình
$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} - 6} \ge 3 - t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t^2} - 6 \ge 0\\3 - t < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3 - t \ge 0\\{t^2} - 6 \ge {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 3\\t \ge \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge \dfrac{5}{2}.$
Khi đó $\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x \ge 2\\\sqrt x \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \le \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right)$ $ \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\4b = 1\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow \,\,P = - \,3.$
Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn \(x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\). Tập giá trị của biểu thức
\(S = x + y\) là:
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge - 3\end{array} \right.\), suy ra \(x + y + 1 \ge 0\).
Ta có
\(\begin{array}{l}x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\\ = 2\sqrt {x - 2} + 2\sqrt {y + 3} \le \dfrac{{4 + x - 2}}{2} + \dfrac{{4 + y + 3}}{2} = \dfrac{{x + y + 9}}{2}\end{array}\).
Suy ra \(x + y + 1 \le \dfrac{{x + y + 9}}{2} \Leftrightarrow x + y \le 7\).
Lại có \(x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + y + 1} \right)^2} = 4\left( {x + y + 1 + 2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} } \right) \ge 4\left( {x + y + 1} \right)\) (do \(2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} \ge 0\))
Suy ra \({\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 4\left( {x + y + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 \le 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = - 1\\x + y \ge 3\end{array} \right..\)
$ \Rightarrow \left( {x + y} \right) \in \left[ {3;7} \right] \cup \left\{ { - 1} \right\}$
Điều kiện xác định: \(x \ge 0.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5 + \sqrt x < 2x + \sqrt x \\2{x^2} - 5x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{3}{2} < x < 5\\x < 1\end{array} \right..\)
Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0\) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là: \(S = \left[ {0;\,1} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2};\,\,5} \right).\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình trên. Tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) là
Nhìn vào đồ thị ta thấy tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) là \(\left[ { - 3; - 1} \right]\)
Làm vòng tay mỗi giờ được 10 ngàn đồng
Làm vòng đeo cổ mỗi giờ được \(\dfrac{{40}}{3} \approx 13\) ngàn đồng
Vậy làm vòng đeo cổ có lợi hơn nên ưu tiên làm tối đa số vòng cổ trước.
Làm 4 vòng đeo cổ hết \(4.6 = 24\) giờ, bán được \(4.80 = 320\) ngàn đồng.
Để làm được ít nhất 400 ngàn đồng cần làm thêm vòng tay để thu về 80 ngàn đồng hay cần làm thêm 2 cái vòng tay \( \Rightarrow \) cần thêm \(2.4 = 8\) giờ
Vậy cần tối thiểu \(24 + 8 = 32\) giờ một tuần để An bán được ít nhất 400 ngàn đồng
