Bài tập ôn tập chương 4

Điều kiện: $30 + 7x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \,3;10} \right].$

Đặt $t = \sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - x}  \Leftrightarrow {t^2} = 13 + 2\sqrt {30 + 7x - {x^2}}$

Khi đó, bất phương trình đã cho trở thành: $2t - \dfrac{{{t^2} - 13}}{2} \ge 4 \Leftrightarrow {t^2} - 4t - 5 \le 0 \Leftrightarrow  - \,1 \le t \le 5.$

Kết hợp điều kiện: $t \ge 0,$ ta được $\sqrt {x + 3}  + \sqrt {10 - x}  \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\13 + 2\sqrt {30 + 7x - {x^2}}  \le 25\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\\sqrt {30 + 7x - {x^2}}  \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\{x^2} - 7x + 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \,3 \le x \le 10\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 6\\x \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6 \le x \le 10\\ - \,3 \le x \le 1\end{array} \right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {6;10} \right] \cup \left[ { - \,3;1} \right]$ chứa 10 nghiệm nguyên.

Điều kiện: $0 \le x \le 2 - \sqrt 3$ hoặc $x \ge 2 + \sqrt 3$ $\left(  *  \right).$

Nhận xét: $x = 0$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với $x > 0,$ bất phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt {x + \dfrac{1}{x} - 4}  \ge 3$ $\left( 1 \right).$

Đặt $t = \sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow {t^2} = x + \dfrac{1}{x} + 2$ bất phương trình

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} - 6}  \ge 3 - t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t^2} - 6 \ge 0\\3 - t < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3 - t \ge 0\\{t^2} - 6 \ge {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 3\\t \ge \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge \dfrac{5}{2}.$

Khi đó $\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  \ge 2\\\sqrt x  \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \le \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right)$ $\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\4b = 1\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow \,\,P =  - \,3.$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\y \ge  - 3\end{array} \right.$, suy ra $x + y + 1 \ge 0$.

Ta có

$\begin{array}{l}x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)\\  = 2\sqrt {x - 2}  + 2\sqrt {y + 3}  \le \dfrac{{4 + x - 2}}{2} + \dfrac{{4 + y + 3}}{2} = \dfrac{{x + y + 9}}{2}\end{array}$.

Suy ra $x + y + 1 \le \dfrac{{x + y + 9}}{2} \Leftrightarrow x + y \le 7$.

Lại có $x + y + 1 = 2\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt {y + 3} } \right)$

$\Leftrightarrow {\left( {x + y + 1} \right)^2} = 4\left( {x + y + 1 + 2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3} } \right) \ge 4\left( {x + y + 1} \right)$ (do $2\sqrt {x - 2} \sqrt {y + 3}  \ge 0$)

Suy ra ${\left( {x + y + 1} \right)^2} \ge 4\left( {x + y + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 \le 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\x + y + 1 \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y =  - 1\\x + y \ge 3\end{array} \right..$

$\Rightarrow \left( {x + y} \right) \in \left[ {3;7} \right] \cup \left\{ { - 1} \right\}$

Điều kiện xác định: $x \ge 0.$

$\left\{ \begin{array}{l}3x - 5 + \sqrt x  < 2x + \sqrt x \\2{x^2} - 5x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{3}{2} < x < 5\\x < 1\end{array} \right..$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0$ ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là: $S = \left[ {0;\,1} \right) \cup \left( {\dfrac{3}{2};\,\,5} \right).$

Nhìn vào đồ thị ta thấy tập nghiệm của bất phương trình $f\left( x \right) \le 0$ là $\left[ { - 3; - 1} \right]$ 

Làm vòng tay mỗi giờ được 10 ngàn đồng

Làm vòng đeo cổ mỗi giờ được $\dfrac{{40}}{3} \approx 13$ ngàn đồng

Vậy làm vòng đeo cổ có lợi hơn nên ưu tiên làm tối đa số vòng cổ trước.

Làm 4 vòng đeo cổ hết $4.6 = 24$ giờ, bán được $4.80 = 320$ ngàn đồng.

Để làm được ít nhất 400 ngàn đồng cần làm thêm vòng tay để thu về 80 ngàn đồng hay cần làm thêm 2 cái vòng tay $\Rightarrow$ cần thêm $2.4 = 8$ giờ

Vậy cần tối thiểu $24 + 8 = 32$ giờ một tuần để An bán được ít nhất 400 ngàn đồng