Tập nghiệm của bất phương trình $x + 1 + \sqrt {{x^2} - 4x + 1}  \ge 3\sqrt x $ có dạng $S = \left[ {a;b} \right] \cup \left[ {c; + \,\infty } \right),$ với $a,\,\,b,\,\,c$ là các số thực dương. Tính tổng $P = 2a + 4b - c.$

Điều kiện: $0 \le x \le 2 - \sqrt 3 $ hoặc $x \ge 2 + \sqrt 3 $ $\left(  *  \right).$

Nhận xét: $x = 0$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với $x > 0,$ bất phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \sqrt {x + \dfrac{1}{x} - 4}  \ge 3$ $\left( 1 \right).$

Đặt $t = \sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \Rightarrow {t^2} = x + \dfrac{1}{x} + 2$ bất phương trình

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} - 6}  \ge 3 - t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t^2} - 6 \ge 0\\3 - t < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3 - t \ge 0\\{t^2} - 6 \ge {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 3\\t \ge \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge \dfrac{5}{2}.$

Khi đó $\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  \ge 2\\\sqrt x  \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \le \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {0;\dfrac{1}{4}} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right)$ $ \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\4b = 1\\c = 4\end{array} \right. \Rightarrow \,\,P =  - \,3.$