Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \(\,{x_2}\) thỏa mãn: \(\dfrac{{x_1^2 - 3{x_1} + m}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2 - 3{x_2} + m}}{{{x_1}}} \le 2\).
Phương trình có nghiệm khi $\Delta ' \ge 0$$ \Leftrightarrow 1 - m \ge 0$$ \Leftrightarrow m \le 1$ $\left( 1 \right)$.
Theo định lý Viète ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.$.
Mặt khác \({x_1}\), \(\,{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\) nên $x_1^2 - 2{x_1} + m = 0$ và $x_2^2 - 2{x_2} + m = 0$.
Khi đó \(\dfrac{{x_1^2 - 3{x_1} + m}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2 - 3{x_2} + m}}{{{x_1}}} \le 2\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - {x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{ - {x_2}}}{{{x_1}}} \le 2$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} \ge - 2$$ \Leftrightarrow \dfrac{{4 - 2m}}{m} \ge - 2$$ \Leftrightarrow \dfrac{4}{m} \ge 0$$ \Leftrightarrow m > 0$.
Kiểm tra điều kiện $\left( 1 \right)$, ta được \(0 < m \le 1\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + m + 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), ${x_2}$ thỏa mãn \(x_1^3 + x_2^3 \le 16\).
Phương trình có nghiệm khi $\Delta ' \ge 0$$ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \ge 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le - 1\end{array} \right.$ $\left( 1 \right)$.
Theo định lý Viète ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m + 2\end{array} \right.$.
\(x_1^3 + x_2^3 \le 16\)$ \Leftrightarrow 8{m^3} - 6m\left( {m + 2} \right) \le 16$$ \Leftrightarrow 8{m^3} - 6{m^2} - 12m - 16 \le 0$$ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {8{m^2} + 10m + 8} \right) \le 0$$ \Leftrightarrow m - 2 \le 0$$ \Leftrightarrow m \le 2$.
Kiểm tra điều kiện $\left( 1 \right)$, ta được $m \le - 1$ hoặc $m = 2$.
Cho bất phương trình \({x^2} - 6x + \sqrt { - {x^2} + 6x - 8} + m - 1 \ge 0\). Xác định \(m\) để bất phương trình nghiệm đúng với \(\forall x \in \left[ {2; 4} \right]\).
Điều kiện \( - {x^2} + 6x - 8 \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ {2; 4} \right]\).
Đặt \(t = \sqrt { - {x^2} + 6x - 8} \) ta có \(t\ge 0\) và:
$\begin{array}{l}
{t^2} = - {x^2} + 6x - 8 = - {x^2} + 6x - 9 + 1\\
= - \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 1 = - {\left( {x - 3} \right)^2} + 1 \le 1\\
\Rightarrow - 1 \le t \le 1
\end{array}$
Do đó \(0\le t\le 1\).
Ta có: ${t^2} = - {x^2} + 6x - 8 \Rightarrow {x^2} - 6x = - 8 - {t^2}$ thay vào bất phương trình ban đầu ta được:
\( - 8 - {t^2} + t + m - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow m \ge {t^2} - t + 9\) \((*)\).
Xét \(f\left( t \right) = {t^2} - t + 9\) trên \(\left[ {0; 1} \right]\) ta có bảng biến thiên như sau:
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ {2; 4} \right]\) thì bất phương trình \(\left( * \right)\) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ {0; 1} \right]\) \( \Leftrightarrow m \ge 9\).
Một gia đình cần ít nhất \(900\) đơn vị protein và \(400\) đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa \(800\) đơn vị protein và \(200\)đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa \(600\) đơn vị protein và \(400\) đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất \(1,6\) kg thịt bò và \(1,1\) kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là \(160\) nghìn đồng, một kg thịt lợn là \(110\) nghìn đồng. Gọi \(\,x\),\(y\) lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm \(\,x\),\(y\) để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là \(160.x + 110.y\) với \(\,x\),\(y\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right.\).
Số đơn vị protein gia đình có là \(0,8.x + 0,6.y \ge 0,9\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\)\(\left( {{d_1}} \right)\).
Số đơn vị lipit gia đình có là\(0,2.x + 0,4.y \ge 0,4 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2\) \(\left( {{d_2}} \right)\).
Bài toán trở thành: Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right.\) sao cho \(T = 160.x + 110.y\) nhỏ nhất.
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\); \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\); \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\); \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\).
Nhận xét: \(T\left( A \right) = 377\) nghìn, \(T\left( B \right) = 278\) nghìn, \(T\left( C \right) = 173\) nghìn, \(T\left( D \right) = 169\) nghìn.
Ta thấy, T(D) nhỏ nhất nên x=0,3, y=1,1.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì \(x = 0,3\) và \(y = 1,1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 1\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(f\left( x \right) > 0\), \(\forall x \in \left( {0;\,1} \right)\).
Ta có \(f\left( x \right) > 0\), \(\forall x \in \left( {0;\,1} \right)\)\( \Leftrightarrow - {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 1 > 0\), \(\forall x \in \left( {0;\,1} \right)\).
\( \Leftrightarrow - 2m\left( {x - 1} \right) > {x^2} - 2x + 1\), \(\forall x \in \left( {0;\,1} \right)\) \(\left( * \right)\).
Vì \(x \in \left( {0;\,1} \right) \Rightarrow x - 1 < 0\) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow - 2m < \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 1}} = x - 1 = g\left( x \right)\), \(\forall x \in \left( {0;\,1} \right)\).
\( \Leftrightarrow - 2m \le g\left( 0 \right) = - 1 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}\).
Các giá trị của $m$ để bất phương trình $2\left| {x - m} \right| + 2{x^2} + 2 > {x^2} + 2mx$ thỏa mãn với mọi $x$ là
Ta có: $2\left| {x - m} \right| + 2{x^2} + 2 > {x^2} + 2mx \left( 1 \right)$
$ \Leftrightarrow {\left( {x - m} \right)^2} + 2\left| {x - m} \right| + 2 - {m^2} > 0 \left( 2 \right)$
+ Đặt $t = \left| {x - m} \right|;\,\,t \ge 0$ thì bất phương trình trở thành: $ \Leftrightarrow {t^2} + 2t + 2 - {m^2} > 0 \left( * \right)$
+ Để bất phương trình $2\left| {x - m} \right| + 2{x^2} + 2 > {x^2} + 2mx$ thỏa mãn với mọi $x$
$ \Leftrightarrow $ Bất phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm thỏa mãn $t \ge 0$.
Thậy vậy, xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} + 2t + 2 > {m^2};\,\,t \ge 0 \left( {**} \right)$
Ta có bảng biến thiên
Bất phương trình $\left( {**} \right)\,$thỏa mãn $ \Leftrightarrow {m^2} < \min f\left( t \right)$, khi $t \ge 0$
$ \Leftrightarrow {m^2} < 2$$ \Leftrightarrow - \sqrt 2 < m < \sqrt 2 $.
Cho $0 < x,y \le 1;\,\,\,x + y = 4xy.$ Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của $A = {x^2} + {y^2} - xy$ lần lượt là
+ Ta có: \({\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \ge xy \Rightarrow {\left( {2xy} \right)^2} \ge xy\)\( \Rightarrow xy \ge \dfrac{1}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\).
+ Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - y \ge 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \left( {x + y} \right) + xy \ge 0\)\( \Leftrightarrow 1 - 3xy \ge 0\)\( \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{3}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = 1\end{array} \right.\).
+ Suy ra \(\dfrac{1}{4} \le xy \le \dfrac{1}{3}\).
+ Ta có: \(A = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy\)\( = 16{\left( {xy} \right)^2} - 3xy\).
+ Đặt \(t = xy\), ta được hàm số \(f\left( t \right) = 16{t^2} - 3t\). Đây là một parabol có hoành độ đỉnh là \(\dfrac{3}{{32}}\) và hệ số \(a = 16 > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{3}{{32}}; + \infty } \right)\) và do đó đồng biến trên \(\left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3}} \right]\).
Từ đó: \(\min f\left( t \right)\)\( = f\left( {\dfrac{1}{4}} \right)\)\( = \dfrac{1}{4}\); \(\max f\left( t \right)\)\( = f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\)\( = \dfrac{7}{9}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right)x + 5 - m\), với \(m\) là tham số thực. Tập hợp các giá trị của \(m\) để bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\) đúng với mọi \(x \in \left( {0;3} \right)\) là
\(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right)x + 5 - m\).
TH1: \(m = - 1\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = 6 > 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Rightarrow \) \(m = - 1\) thỏa mãn \(\left( 1 \right)\).
TH2: \(m > - 1\) \( \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{{m - 5}}{{m + 1}}\).
Khi đó \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{m - 5}}{{m + 1}} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 5\).
Kết hợp điều kiện ta có: \( - 1 < m \le 5\) \(\left( 2 \right)\).
TH3: \(m < - 1\) \( \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow x < \dfrac{{m - 5}}{{m + 1}}\).
Khi đó \(f\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {0;3} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{m - 5}}{{m + 1}} \ge 3 \Leftrightarrow 3 - \dfrac{{m - 5}}{{m + 1}} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 8}}{{m + 1}} \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le - 1\).
Kết hợp điều kiện ta có: \( - 4 \le m < - 1\) \(\left( 3 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra: \( - 4 \le m \le 5\).
Tìm giá trị của tham số \(m\) để hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x - 6} \right) < - 3\\\dfrac{{5x + m}}{2} > 7\end{array} \right.$ có nghiệm
$\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x - 6} \right) < - 3\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{5x + m}}{2} > 7\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$ \(\left( {\rm{I}} \right)\).
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x < 5 \Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;5} \right)\).
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{14 - m}}{5} \Rightarrow {S_2} = \left( {\dfrac{{14 - m}}{5}; + \infty } \right)\).
Hệ \(\left( {\rm{I}} \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \Leftrightarrow \dfrac{{14 - m}}{5} < 5 \Leftrightarrow m > - 11\).
Số giá trị nguyên $x$ trong $\left[ { - \,2017;2017} \right]$ thỏa mãn bất phương trình \(\left| {2x + 1} \right| < 3x\) là
\(\left| {2x + 1} \right| < 3x\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 3x < 2x + 1 < 3x\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \dfrac{-1}{5}\\x > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x > 1\).
Do đó tập nghiệm của bpt là \((1;+\infty )\).
Mà $x \in \left[ { - \,2017;2017} \right]$ $ \Rightarrow x \in \{2;3;4;...;2017\}$
Vậy có $2016$ giá trị nguyên $x$ thỏa mãn đề bài.
Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} < 1$ là:
$\dfrac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x + 2}} < 1$\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\\dfrac{{1 - x}}{{x + 2}} < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\dfrac{{ - 3}}{{x + 2}} < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\\dfrac{{ - 1 - 2x}}{{x + 2}} < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x > - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;{\rm{ }} - {\rm{2}}} \right) \cup \left( { - \dfrac{1}{2};{\rm{ }} + \infty } \right)\).
