Câu hỏi:
2 năm trước
Cho $0 < x,y \le 1;\,\,\,x + y = 4xy.$ Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của $A = {x^2} + {y^2} - xy$ lần lượt là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
+ Ta có: \({\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \ge xy \Rightarrow {\left( {2xy} \right)^2} \ge xy\)\( \Rightarrow xy \ge \dfrac{1}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\).
+ Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\1 - y \ge 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow 1 - \left( {x + y} \right) + xy \ge 0\)\( \Leftrightarrow 1 - 3xy \ge 0\)\( \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{3}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = 1\end{array} \right.\).
+ Suy ra \(\dfrac{1}{4} \le xy \le \dfrac{1}{3}\).
+ Ta có: \(A = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy\)\( = 16{\left( {xy} \right)^2} - 3xy\).
+ Đặt \(t = xy\), ta được hàm số \(f\left( t \right) = 16{t^2} - 3t\). Đây là một parabol có hoành độ đỉnh là \(\dfrac{3}{{32}}\) và hệ số \(a = 16 > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{3}{{32}}; + \infty } \right)\) và do đó đồng biến trên \(\left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{3}} \right]\).
Từ đó: \(\min f\left( t \right)\)\( = f\left( {\dfrac{1}{4}} \right)\)\( = \dfrac{1}{4}\); \(\max f\left( t \right)\)\( = f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\)\( = \dfrac{7}{9}\).
Hướng dẫn giải:
- Từ diều kiện vài cho tìm tập giá trị của \(xy\)
- Biến đổi \(A\) làm xuất hiện tích \(xy\), tìm GTLN, GTNN của \(A\) theo điều kiện \(xy\) vừa tìm được ở trên và kết luận.
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
