Câu hỏi:
2 năm trước
Cho bất phương trình \({x^2} - 6x + \sqrt { - {x^2} + 6x - 8} + m - 1 \ge 0\). Xác định \(m\) để bất phương trình nghiệm đúng với \(\forall x \in \left[ {2; 4} \right]\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Điều kiện \( - {x^2} + 6x - 8 \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ {2; 4} \right]\).
Đặt \(t = \sqrt { - {x^2} + 6x - 8} \) ta có \(t\ge 0\) và:
$\begin{array}{l}
{t^2} = - {x^2} + 6x - 8 = - {x^2} + 6x - 9 + 1\\
= - \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 1 = - {\left( {x - 3} \right)^2} + 1 \le 1\\
\Rightarrow - 1 \le t \le 1
\end{array}$
Do đó \(0\le t\le 1\).
Ta có: ${t^2} = - {x^2} + 6x - 8 \Rightarrow {x^2} - 6x = - 8 - {t^2}$ thay vào bất phương trình ban đầu ta được:
\( - 8 - {t^2} + t + m - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow m \ge {t^2} - t + 9\) \((*)\).
Xét \(f\left( t \right) = {t^2} - t + 9\) trên \(\left[ {0; 1} \right]\) ta có bảng biến thiên như sau:
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ {2; 4} \right]\) thì bất phương trình \(\left( * \right)\) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ {0; 1} \right]\) \( \Leftrightarrow m \ge 9\).
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi bất phương trình về dạng \(m \ge f\left( t \right)\) với \(t = \sqrt { - {x^2} + 6x - 8} \)
- Sử dụng phương pháp hàm số xét hàm \(f\left( t \right)\) với điều kiện \(t\) tìm được theo điều kiện của \(x\)
- Bất phương trình \(m \ge f\left( t \right)\) với \(\forall t \in D\) nếu \(m \ge \mathop {\max }\limits_D f\left( t \right)\)
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
