Tổng hợp câu hay và khó chương 3 - Phần 3

Phương trình ${x^2} + 3\left| {x - 3} \right| = 2x + 5$$\Leftrightarrow 3\left| {x - 3} \right| = 2x + 5 - {x^2}$$\left( * \right)$.

Do $3\left| {x - 3} \right|\ge 0$ nên $2x + 5 - {x^2} \ge 0$ $\Leftrightarrow 1 - \sqrt 6  \le x \le 1 + \sqrt 6$.

TH1: $3 \le x \le 1 + \sqrt 6$.

Phương trình $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} + x - 14 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {57} }}{2}\left( {TM} \right)\\x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {57} }}{2}\left( L \right)\end{array} \right.$.

TH2: $1 - \sqrt 6  \le x < 3$.

Phương trình $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0$ $\Leftrightarrow x = 1$ (do $x = 4$ loại).

+ Với $x + 5 < 0 \Leftrightarrow x <  - 5$ ta có ${\rm{VT}} \ge 0$, ${\rm{VP}} < 0$ suy ra phương trình vô nghiệm

+ Với $x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 5$

Phương trình $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 = x + 5\\{x^2} + 2x - 3 =  - x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + x - 8 = 0\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{2}\\x = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right. (TM)$ hoặc $\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right. (TM)$

Do đó tổng các nghiệm nguyên là: $(-2)+(-1)=- 3$

Phương trình đã cho tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\2{x^2} - x - 2m = {x^2} - 4x + 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\{x^2} + 3x - 4 = 2m\end{array} \right.$

Xét hàm $y = {x^2} + 3x - 4$ trên $\left[ {2; + \infty } \right)$ ta có:

BBT:

Để phương trình đã cho có nghiệm điều kiện là $2m \ge 6$ $\Leftrightarrow m \ge 3$.

Mà $m \in \left[ { - 2017;2017} \right)$ suy ra $3 \le m < 2017$.

Vậy có nhiều nhất $2014$ số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gọi $x$, $y$ $> 0$ (km/giờ) lần lượt là vận tốc trung bình lúc đi và vận tốc trung bình lúc về.

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}y - x = 20\\\dfrac{{175}}{x} + \dfrac{{175}}{y} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 20 + x\,\,\,\left( 1 \right)\\\dfrac{{175}}{x} + \dfrac{{175}}{y} = 6\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Thế $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được

$\dfrac{{175}}{x} + \dfrac{{175}}{{20 + x}} = 6$ $\Leftrightarrow 6{x^2} - 230x - 3500 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50\\x =  - \dfrac{{35}}{3}\end{array} \right.$ $\Rightarrow x = 50$ vì $x > 0$

Vậy vận tốc lúc đi là $50$ km/giờ.

Ta có ${x^2} - 2x - 3 - 2m = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 2m$.

Để phương trình đã cho có đúng một nghiệm $x \in \left[ {0;4} \right]$ thì đường thẳng $y = 2m$ cắt đồ thị hàm số $y = {x^2} - 2x - 3$ trên $\left[ {0;4} \right]$ tại một điểm duy nhất.

Lập bảng biến thiên của hàm số trên $[0;4]$

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc $[0;4]$ thì $\left[ \begin{array}{l}2m =  - 4\\ - 3 < 2m \le 5\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\ - \dfrac{3}{2} < m \le \dfrac{5}{2}\end{array} \right.$

Vậy các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là $m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}$

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Phương trình tương đương với $\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx + 2m - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.$.

Ta có, phương trình $\left( * \right)$ có $\Delta ' = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0$.

Phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm nếu phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm kép $x = 1$

$\Rightarrow \Delta ' = 0$ $\Leftrightarrow m = 1$.

Thay $m = 1$ vào phương trình $\left( * \right)$, ta được ${x^2} - 2x + 1 = 0$ $\Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn).

Vậy với $m = 1$ thì phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Kí hiệu $\left\{ \begin{array}{l}x + 2my - z = 1 \;\; \left( 1 \right)\\2x - my - 2z = 2 \;\; \left( 2 \right)\\x - \left( {m + 4} \right)y - z = 1 \;\; \left( 3 \right)\end{array} \right.$.

Lấy $\left( 1 \right) - \left( 3 \right)$ vế với vế ta được $\left( {3m + 4} \right)y = 0 \Leftrightarrow y = 0$ (do $m \ne 0; - \dfrac{4}{3}$)

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}x - z = 1\\y = 0\end{array} \right.$

Ta có $T = 2017x - 2018y - 2017z$$= 2017\left( {x - z} \right)$$= 2017$.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 7\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + 8x = 3{y^2} + 12y + 9\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + 4y + 18 - 6\sqrt {x + 7}  - 2x\sqrt {3y + 1}  = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {y + 4} \right)x - 3{y^2} - 12y - 9 = 0$, ta coi $\left( 1 \right)$ là phương trình bậc hai ẩn $x$ và $y$ là tham số, giải $x$ theo $y$ ta được $\left[ \begin{array}{l}x =  - 3y - 9\\x = y + 1\end{array} \right.$

Với $x =  - 3y - 9$ thì $\left( * \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3y - 9 \ge  - 7\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \le  - \dfrac{2}{3}\\y \ge  - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$ (Vô lý)

Với $x = y + 1$ $\Leftrightarrow y = x - 1$ thì

$\left( 2 \right) \Rightarrow {x^2} + 4x - 6\sqrt {x + 7}  - 2x\sqrt {3x - 2}  + 14 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x\sqrt {3x - 2} + 3x - 2} \right) + \left( {x + 7 - 6\sqrt {x + 7} + 9} \right) = 0$ $\Leftrightarrow {\left( {x - \sqrt {3x - 2} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {x + 7}  - 3} \right)^2} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt {3x - 2} \\\sqrt {x + 7}  = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x = 2$ (thỏa mãn) $\Rightarrow y = 1$ (thỏa mãn)

Hệ phương trình có nghiệm là $\left( {2;\,1} \right)$$\Rightarrow a = 2$, $b = 1$ $\Rightarrow$ $T = 24$.

Điều kiện xác định: $x \ne 0$. Đặt $t = x + \dfrac{1}{x}$$\Rightarrow {t^2} - 2 = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} \ge 2$$\Rightarrow \left| t \right| \ge 2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 2\end{array} \right.$.

Phương trình đã cho trở thành $2\left( {{t^2} - 2} \right) - 3t - 2m + 1 = 0$$\Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 2m - 3 = 0$

$\Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 3 = 2m$ (1)

Xét hàm số $y = f\left( t \right) = 2{t^2} - 3t - 3$ có bảng biến thiên

(1) có nghiệm $t$ thỏa $\left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 2\end{array} \right.$ khi $\left[ \begin{array}{l}2m \ge  - 1\\2m \ge 11\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{1}{2}$$\Rightarrow S = \left[ { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Vậy $T = 3$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}xy - 3x - 2y = 16\\{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 33\end{array} \right.  \left( 1 \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {xy - 2x - y + 2} \right) - x + 1 - y + 2 = 21\\\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) = 38\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right) - \left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 21\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 38\end{array} \right.  \left( 2 \right)$

Đặt $u = x - 1\,$; $v = y - 2$ ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}uv - \left( {u + v} \right) = 21\\{u^2} + {v^2} = 38\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}uv - \left( {u + v} \right) = 21\\{\left( {u + v} \right)^2} - 2uv = 38\end{array} \right.$

Đặt $S = u + v$; $P = uv$ ta được hệ $\left\{ \begin{array}{l}P - S = 21\\{S^2} - 2P = 38\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = S + 21\\{S^2} - 2S - 80 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S =  - 8\\P = 13\end{array} \right.\,\,$ hoặc $\,\,\left\{ \begin{array}{l}S = 10\\P = 31\end{array} \right.$.

+ Khi $\left\{ \begin{array}{l}S =  - 8\\P = 13\end{array} \right.\,\,$ thì $u$; $v$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} + 8X + 13 = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u =  - 4 + \sqrt 3 \\v =  - 4 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,$ hoặc $\,\,\left\{ \begin{array}{l}u =  - 4 - \sqrt 3 \\v =  - 4 + \sqrt 3 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 4 + \sqrt 3 \\y - 2 =  - 4 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,\,$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - 4 - \sqrt 3 \\y - 2 =  - 4 + \sqrt 3 \end{array} \right.\,$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + \sqrt 3 \\y =  - 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\,$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 - \sqrt 3 \\y =  - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.$.

+ Khi $\left\{ \begin{array}{l}S = 10\\P = 31\end{array} \right.$ thì $u$; $\,\,v$ là nghiệm của phương trình: ${X^2} - 10X + 31 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 3 - \sqrt 3 ; - 2 + \sqrt 3 } \right);$ $\left( {x;y} \right) = \left( { - 3 + \sqrt 3 ; - 2 - \sqrt 3 } \right)$

$2\sqrt {x + 1}  = x + m$$\left( 1 \right)$

Phương trình tương đương: $\left\{ \begin{array}{l}x + m \ge 0\\4\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 2mx + {m^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - m\\{x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow {\rm{pt}}\left( 2 \right)$có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng $- m$.

$\Delta ' = 8 - 4m$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0$$\Leftrightarrow m \le 2$

Khi đó phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2 - m - \sqrt {8 - 4m} \\{x_2} = 2 - m + \sqrt {8 - 4m} \end{array} \right.$.

Dễ thấy ${x_2} = 2 - m + \sqrt {8 - 4m}  >  - m,\forall m \le 2$ nên $\left( 2 \right)$ luôn có ít nhất $1$ nghiệm $x \ge  - m$ thỏa mãn bài toán.

Vậy $m \le 2$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $- {x^2} + 2x + 3 = mx \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)$

Dễ thấy $\left( 1 \right)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt vì $ac = 1.\left( { - 3} \right) =  - 3 < 0$

Khi đó $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( {{x_1};\,m{x_1}} \right)$, $B\left( {{x_2};\,m{x_2}} \right)$, với ${x_1}$, ${x_2}$ là nghiệm phương trình $\left( 1 \right)$. Theo Viét, có: ${x_1} + {x_2} = 2 - m$, ${x_1}{x_2} =  - 3$

$I$ là trung điểm $AB \Rightarrow I = \left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\dfrac{{m{x_1} + m{x_2}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{2 - m}}{2};\,\dfrac{{ - {m^2} + 2m}}{2}} \right)$

Mà $I \in \left( \Delta  \right):\,y = x - 3$ $\Rightarrow \dfrac{{ - {m^2} + 2m}}{2} = \dfrac{{2 - m}}{2} - 3$ $\Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1 = {m_1}\\m = 4 = {m_2}\end{array} \right.$ $\Rightarrow {m_1} + {m_2} = 3$.

Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t$, $\left| t \right| \ge 2$ khi đó phương trình trở thành $2{t^2} - 3t - 5m - 3 = 0$ (*)

Phương trình $2\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 3\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) - 5m + 1 = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm $t$ thỏa mãn $\left| t \right| \ge 2$.

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của parabol $\left( P \right):y = 2{t^2} - 3t - 3$ và đường thẳng $d:y = 5m$.

Xét parabol $\left( P \right):y = 2{t^2} - 3t - 3$ ta có bảng biến thiên như sau

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có nghiệm $t \in \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$ khi và chỉ khi $5m \ge  - 1$ hoặc $5m\ge 11$

$\Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{1}{5}$ hoặc $m \ge \dfrac{11}{5}$

$\Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{1}{5}$

Vậy khi $m \in \left[ { - \dfrac{1}{5}; + \infty } \right)$ thì phương trình có nghiệm $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 5\end{array} \right.$ $\Rightarrow T = 5$.

Điều kiện $y \ne 0$.

Hệ phương trình tương đương với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \dfrac{x}{y} = 7  \left( 1 \right)}\\{x\left( {\dfrac{x}{y} + 1} \right) = 12 \left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

Từ $\left( 1 \right)$ và $x$, $y$ là số nguyên nên $y$ là ước của $x$.

Từ $\left( 2 \right)$ ta có $x$ là ước của $12$.

+ $x =  \pm 1$ thì $\dfrac{{ \pm 1}}{y} + 1 =  \pm 12$ (loại).

+ $x =  \pm 2$ thì $\dfrac{{ \pm 2}}{y} + 1 =  \pm 6$ (loại).

+ $x = 3$ thì $\dfrac{3}{y} + 1 = 4$$\Leftrightarrow y = 1$ (thỏa mãn) $\Rightarrow xy = 3$.

+ $x =  - 3$ thì $- \dfrac{3}{y} + 1 =  - 4$ (loại)

+ $x = 4$ thì $\dfrac{4}{y} + 1 = 3\Leftrightarrow y = 2$ (loại vì không thỏa mãn $( 1 )$.

+ $x =  - 4$ thì $- \dfrac{4}{y} + 1 =  - 3$ $\Leftrightarrow y = 1$ (loại vì không thỏa mãn $\left( 1 \right)$).

+ $x = 6$ thì $\dfrac{6}{y} + 1 = 2$$\Leftrightarrow y = 6$ (loại vì không thỏa mãn $\left( 1 \right)$).

+ $x =  - 6$ thì $- \dfrac{6}{y} + 1 =  - 2$$\Leftrightarrow y = 2$ (loại vì không thỏa mãn $\left( 1 \right)$).

+ $x = 12$ thì $\dfrac{{12}}{y} + 1 = 1$ vô nghiệm.

+ $x =  - 12$ thì $- \dfrac{{12}}{y} + 1 =  - 1$$\Leftrightarrow y = 6$ (loại vì không thỏa mãn $\left( 1 \right)$).

Vậy có duy nhất một nghiệm nguyên $x = 3$; $y = 1$ nên $xy = 3$.

Ta có $D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\2&m\end{array}} \right| = {m^2} + 2 > 0$, $\forall m \in \mathbb{R}$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

${D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\9&m\end{array}} \right| = 3m + 9$; ${D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&3\\2&9\end{array}} \right| = 9m - 6$.

Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất là $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 9}}{{{m^2} + 2}}\\y = \dfrac{{9m - 6}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.$.

Ta có $A = 3x - y$$= \dfrac{{3\left( {3m + 9} \right)}}{{{m^2} + 2}} - \dfrac{{9m - 6}}{{{m^2} + 2}}$$= \dfrac{{33}}{{{m^2} + 2}}$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên để $A$ nguyên thì ${m^2} + 2$ là ước của $33$ mà ${m^2} + 2 \ge 2$ nên ta có các trường hợp sau:

+ TH1: ${m^2} + 2 = 3$$\Leftrightarrow m =  \pm 1$.

+ TH2: ${m^2} + 2 = 11$$\Leftrightarrow m =  \pm 3$.

+ TH3: ${m^2} + 2 = 33$$\Leftrightarrow m =  \pm \sqrt {31}$ (loại).

Mà $m$ nguyên dương nên $m \in \{1;3\}$

Vậy có $2$ giá trị nguyên dương của $m$ để $A$ nguyên.