Cho $\left( {x;y} \right)$ với \(x\), \(y\) nguyên là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{xy + {y^2} + x = 7y\left( 1 \right)}\\{\dfrac{{{x^2}}}{y} + x = 12{\rm{      }}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\) thì tích $xy$ bằng

Điều kiện \(y \ne 0\).

Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \dfrac{x}{y} = 7  \left( 1 \right)}\\{x\left( {\dfrac{x}{y} + 1} \right) = 12 \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(x\), \(y\) là số nguyên nên \(y\) là ước của \(x\).

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có \(x\) là ước của \(12\).

+ \(x =  \pm 1\) thì \(\dfrac{{ \pm 1}}{y} + 1 =  \pm 12\) (loại).

+ \(x =  \pm 2\) thì \(\dfrac{{ \pm 2}}{y} + 1 =  \pm 6\) (loại).

+ \(x = 3\) thì \(\dfrac{3}{y} + 1 = 4\)\( \Leftrightarrow y = 1\) (thỏa mãn) \( \Rightarrow xy = 3\).

+ \(x =  - 3\) thì \( - \dfrac{3}{y} + 1 =  - 4\) (loại)

+ \(x = 4\) thì \(\dfrac{4}{y} + 1 = 3\Leftrightarrow y = 2\) (loại vì không thỏa mãn \(( 1 )\).

+ $x =  - 4$ thì \( - \dfrac{4}{y} + 1 =  - 3\) \( \Leftrightarrow y = 1\) (loại vì không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).

+ \(x = 6\) thì \(\dfrac{6}{y} + 1 = 2\)\( \Leftrightarrow y = 6\) (loại vì không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).

+ \(x =  - 6\) thì \( - \dfrac{6}{y} + 1 =  - 2\)\( \Leftrightarrow y = 2\) (loại vì không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).

+ \(x = 12\) thì \(\dfrac{{12}}{y} + 1 = 1\) vô nghiệm.

+ \(x =  - 12\) thì \( - \dfrac{{12}}{y} + 1 =  - 1\)\( \Leftrightarrow y = 6\) (loại vì không thỏa mãn \(\left( 1 \right)\)).

Vậy có duy nhất một nghiệm nguyên \(x = 3\); \(y = 1\) nên \(xy = 3\).