Câu hỏi:
2 năm trước
Gọi $S$ là tập hợp tất các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $\left( d \right):\,y = mx$ cắt parabol $\left( P \right):y = - {x^2} + 2x + 3$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ thuộc đường thẳng $\left( \Delta \right):\,y = x - 3$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Phương trình hoành độ giao điểm: $ - {x^2} + 2x + 3 = mx \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x - 3 = 0\,\,\left( 1 \right)$
Dễ thấy \(\left( 1 \right)\) luôn có \(2\) nghiệm phân biệt vì \(ac = 1.\left( { - 3} \right) = - 3 < 0\)
Khi đó \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};\,m{x_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};\,m{x_2}} \right)\), với \({x_1}\), \({x_2}\) là nghiệm phương trình \(\left( 1 \right)\). Theo Viét, có: \({x_1} + {x_2} = 2 - m\), \({x_1}{x_2} = - 3\)
\(I\) là trung điểm \(AB \Rightarrow I = \left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\,\dfrac{{m{x_1} + m{x_2}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{2 - m}}{2};\,\dfrac{{ - {m^2} + 2m}}{2}} \right)\)
Mà \(I \in \left( \Delta \right):\,y = x - 3 \) \(\Rightarrow \dfrac{{ - {m^2} + 2m}}{2} = \dfrac{{2 - m}}{2} - 3 \) \(\Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1 = {m_1}\\m = 4 = {m_2}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {m_1} + {m_2} = 3\).
Hướng dẫn giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, sử dụng Vi – et suy ra mối quan hệ giữa các \({x_1},{x_2}\)
- Từ đó suy ra tọa độ trung điểm của \(AB\) theo \(m\), thay tọa độ này vào phương trình đường thẳng tìm \(m\)
Câu hỏi khác
- Bài tập đại cương về phương trình toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc ba, bậc bốn quy về bậc nhất, bậc hai toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình chứa căn toán 10 có lời giải
