Câu hỏi:
2 năm trước
Có bao nhiêu giá trị \(m\) nguyên dương để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 3\\2x + my = 9\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\) sao cho biểu thức \(A = 3x - y\) nhận giá trị nguyên
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\2&m\end{array}} \right| = {m^2} + 2 > 0\), \(\forall m \in \mathbb{R}\) nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 1}\\9&m\end{array}} \right| = 3m + 9\); \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&3\\2&9\end{array}} \right| = 9m - 6\).
Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3m + 9}}{{{m^2} + 2}}\\y = \dfrac{{9m - 6}}{{{m^2} + 2}}\end{array} \right.\).
Ta có \(A = 3x - y\)\( = \dfrac{{3\left( {3m + 9} \right)}}{{{m^2} + 2}} - \dfrac{{9m - 6}}{{{m^2} + 2}}\)\( = \dfrac{{33}}{{{m^2} + 2}}\).
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên để \(A\) nguyên thì \({m^2} + 2\) là ước của \(33\) mà \({m^2} + 2 \ge 2\) nên ta có các trường hợp sau:
+ TH1: \({m^2} + 2 = 3\)\( \Leftrightarrow m = \pm 1\).
+ TH2: \({m^2} + 2 = 11\)\( \Leftrightarrow m = \pm 3\).
+ TH3: \({m^2} + 2 = 33\)\( \Leftrightarrow m = \pm \sqrt {31} \) (loại).
Mà $m$ nguyên dương nên $m \in \{1;3\}$
Vậy có \(2\) giá trị nguyên dương của \(m\) để \(A\) nguyên.
Hướng dẫn giải:
- Tìm nghiệm duy nhất của hệ.
- Thay vào biểu thức \(A\) tìm giá trị nguyên của \(A\)
Câu hỏi khác
- Bài tập đại cương về phương trình toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc ba, bậc bốn quy về bậc nhất, bậc hai toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối toán 10 có lời giải
- Bài tập phương trình chứa căn toán 10 có lời giải
