Vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn

Do đường tròn tiếp xúc với trục $Oy$ nên $R = d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right|$.

Phương trình trục $Oy$ là $x = 0$.

Đáp án A sai vì: Tâm $I\left( {0;5} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {24}$. Ta có $d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right| \ne R$.

Đáp án B sai vì: Tâm $I\left( { - 3; - \dfrac{5}{2}} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{\sqrt {65} }}{2}$. Ta có $d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right| \ne R$.

Đáp án C đúng vì: Tâm $I\left( {1;0} \right)$ và bán kính $R = 1$. Ta có $d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right| = R$.

Đáp án D sai vì: Tâm $I\left( {0;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5$. Ta có $d\left( {I,Oy} \right) = \left| {{x_I}} \right| \ne R$.

Do đường tròn tiếp xúc với trục $Ox$ nên $R = d\left( {I,Ox} \right) = \left| {{y_I}} \right|$.

Phương trình trục $Ox$ là $y = 0$.

Đáp án A sai vì: Tâm $I\left( {1;5} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {26}$. Ta có $d\left( {I,Ox} \right) = \left| {{y_I}} \right| \ne R$.

Đáp án B đúng vì: Tâm $I\left( { - 3; - \dfrac{5}{2}} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{5}{2}$. Ta có $d\left( {I,Ox} \right) = \left| {{y_I}} \right| = R$.

Đáp án C sai vì: Tâm $I\left( {0;5} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {24}$. Ta có $d\left( {I,Ox} \right) = \left| {{y_I}} \right| \ne R$.

Đáp án D sai vì: Tâm $I\left( {0;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5$. Ta có $d\left( {I,Ox} \right) = \left| {{y_I}} \right| \ne R$.

Ta có:${x^2} + {y^2} - 4x - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4$ có tâm $I\left( {2;{\rm{ }}1} \right)$, bán kính $R = 2.$

Vì $d\left( {I,Oy} \right) = 2,$ $d\left( {I,Ox} \right) = 1,$$d\left( {I,{\Delta _1}} \right) = \dfrac{9}{{2\sqrt 5 }},$ $d\left( {I,{\Delta _2}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}$ nên A đúng.

Dễ thấy $A \in \Delta$ nên tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng qua A vuông góc với $\Delta$ là

$\Delta ':4x + 3y + 5 = 0$$\to I = \Delta ' \cap d:\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y + 5 = 0\\x + 3y + 8 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1; - 3} \right)\\R = IA = 5\end{array} \right.$

      Vậy phương trình đường tròn là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25.$

$(C):{x^2} + {y^2} - 4x - 4y - 8 = 0$ có tâm $I\left( {2;2} \right),\,\,R = \sqrt {{2^2} + {2^2} + 8}  = 4$.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng $(d):x - y - 1 = 0$ nên phương trình tiếp tuyến có dạng $x - y + c = 0$ với $c \ne  - 1$ (d’)

Vì d’ là tiếp tuyến của đường tròn có tâm $I\left( {2;2} \right)$ và $R = 4$ nên ta có

$d\left( {I;d'} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 4 \Leftrightarrow |c| = 4\sqrt 2  \Leftrightarrow c =  \pm 4\sqrt 2$   

Xét hệ:$\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} - 2 = 0}\\{{x^2} + {y^2} - 2x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{{y^2} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 1}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$

Vậy có hai giao điểm là:$\left( {1;{\rm{ }} - 1} \right)$và $\left( {1;{\rm{ }}1} \right)$.

- Từ giả thiết : $\left( {{C_1}} \right):\;I = \left( {0;0} \right),R = \sqrt {13} .\left( {{C_2}} \right);J\left( {6;0} \right),R' = 5$

- Gọi đường thẳng $d$ qua $A\left( {2;3} \right)$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ $\Rightarrow d:a\left( {x - 2} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow ax + by - 2a - 3b = 0$.

Dễ thấy $AH = AK$ (vì $AM = AN$) nên $I{A^2} - I{H^2} = J{A^2} - J{K^2}$ $\Leftrightarrow 13 - {d^2}\left( {I,d} \right) = 25 - {d^2}\left( {J,d} \right)$ $\Leftrightarrow {d^2}\left( {J,d} \right) - {d^2}\left( {I,d} \right) = 12$.

Mà $d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{\left| { - 2a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ và $d\left( {J,d} \right) = \dfrac{{\left| {4a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ nên:

$\dfrac{{16{a^2} - 24ab + 9{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} - \dfrac{{4{a^2} + 12ab + 9{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 12$ $\Leftrightarrow 12{a^2} - 36ab = 12{a^2} + 12{b^2}$

$\Leftrightarrow 12{b^2} =  - 36ab \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  - 3a\end{array} \right.$.

Nếu $b = 0$ thì chọn $a = 1$ ta được phương trình $x - 2 = 0$.

Nếu $b =  - 3a$ thì chọn $a = 1$ ta được $b =  - 3$, ta được phương trình $x - 3y + 7 = 0$.

Vậy có 2 đường thẳng: ${d_1}:x - 2 = 0$ và ${d_2}:x - 3y + 7 = 0$.

- $\left( C \right)$ có $I\left( { - 2\sqrt 3 ;0} \right)$, $R = 4$. Gọi $J$ là tâm đường tròn cần tìm: $J(a;b)$$\Rightarrow \left( {C'} \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 4$

-Do $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right)$ tiếp xúc ngoài với nhau cho nên khoảng cách $IJ = R + R'$$\Rightarrow \sqrt {{{\left( {a + 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {b^2}}  = 4 + 2 = 6$ $\Leftrightarrow {a^2} + 4\sqrt 3 a + {b^2} = 28$

- Vì $A\left( {0;2} \right)$ là tiếp điểm cho nên : ${\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = 4\left( 2 \right)$

- Do đó ta có hệ : $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 2\sqrt 3 } \right)^2} + {b^2} = 36\\{a^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 4\sqrt 3 a + {b^2} = 24\\{a^2} - 4b + {b^2} = 0\end{array} \right.$

- Giải hệ tìm được: $b = 3$ và $a = \sqrt 3  \Rightarrow \left( {C'} \right):{\left( {x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$.

- $M$ thuộc $d$ suy ra $M(t; - 1 - t)$.

Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì $MAIB$ là hình vuông ($A$,$B$ là 2 tiếp điểm). Do đó $AB = MI = IA\sqrt 2  = R\sqrt 2  = \sqrt 6 .\sqrt 2  = 2\sqrt 3$

- Ta có : $MI = \sqrt {{{\left( {2 - t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}  = \sqrt {2{t^2} + 8}  = 2\sqrt 3$

- Do đó : $2{t^2} + 8 = 12$$\Leftrightarrow {t^2} = 2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \sqrt 2  \to {M_1}\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2  - 1} \right)\\t = \sqrt 2  \to {M_2}\left( {\sqrt 2 ; - \sqrt 2  - 1} \right)\end{array} \right.$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với $d$ nên $\Delta$ có dạng $3x + 4y + c = 0\left( {c \ne  - 2} \right)$

$\Delta$ cắt $\left( C \right)$ tại $A,B$ nên $AB = 6$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ thì $AH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

Tam giác $IAH$ vuông tại $H$ nên $IH = \sqrt {I{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4$

Mà $IH = d\left( {I,\Delta } \right) \Rightarrow 4 = \dfrac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.4 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4 = \dfrac{{\left| {13 + c} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| {13 + c} \right| = 20\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}13 + c = 20\\13 + c =  - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c =  - 33\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}$

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: ${\Delta _1}:3x + 4y + 7 = 0$ và ${\Delta _2}:3x + 4y - 33= 0$

Gọi $d$ là đường thẳng qua $M$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.$

- Đường tròn $\left( {{C_1}} \right):{I_1}\left( {1;1} \right),{R_1} = 1\;.\;\left( {{C_2}} \right):\;{I_2}\left( { - 2;0} \right),{R_2} = 3$ , suy ra :

$\left( {{C_1}} \right):\;{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1,\;\left( {{C_2}} \right):\;{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 9$

- Nếu d cắt  $\left( {{C_1}} \right)$ tại $A$: $\Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} - 2bt = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \to M\\t = \dfrac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1 + \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}};\dfrac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)$

- Nếu d cắt $\left( {{C_2}} \right)$ tại $B$: $\Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 6at = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \to M\\t =  - \dfrac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {1 - \dfrac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}; - \dfrac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)$

- Theo giả thiết: $MA = 2MB$$\Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\left( * \right)$

- Ta có : ${\left( {\dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {\dfrac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2}} \right]$

$\Leftrightarrow \dfrac{{4{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4.\dfrac{{36{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 36{a^2}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 6a \to d:6x + y - 6 = 0\\b = 6a \to d:6x - y - 6 = 0\end{array} \right.$

$\Delta ABC$ cân tại $A$; tâm $I$ của $\left( C \right)$ thuộc $Oy$$\Rightarrow I\left( {0;{y_0}} \right)$, $\overrightarrow {IB}  = \left( {b; - {y_0}} \right),\;\overrightarrow {AB}  = \left( {b; - a} \right)$.

Do $\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {AB}  = 0 \Rightarrow {b^2} + a{y_0} = 0 \Rightarrow {y_0} =  - \dfrac{{{b^2}}}{a}$.

Mặc khác  ${R^2} = I{B^2} = {b^2} + y_0^2 = {b^2} + \dfrac{{{b^4}}}{{{a^2}}}$ .

Vậy phương trình của $\left( C \right)$ là ${x^2} + {\left( {y + \dfrac{{{b^2}}}{a}} \right)^2} = {b^2} + \dfrac{{{b^4}}}{{{a^2}}}$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {4, - 3} \right)$, bán kính $R = 2$

Tọa độ của $I(4, - 3)$ thỏa phương trình $d:x + y - 1 = 0$. Vậy $I \in d$.

Vậy $AI$ là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính $R = 2$, $x = 2$ và $x = 6$ là $2$ tiếp tuyến của $\left( C \right)$  nên

Hoặc là $A$ là giao điểm các đường $d$ và $x = 2 \Rightarrow A\left( {2, - 1} \right)$

Hoặc là $A$ là giao điểm các đường  $(d)$ và $x = 6 \Rightarrow A\left( {6, - 5} \right)$.

$\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5$ có tâm $I\left( {3; - 1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5 .$

$MI = \sqrt {{{\left( {3 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5$ nên $M \in \left( C \right).$

$\Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \left( { - 1; - 2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$ với đường tròn $\left( C \right)$.

Vậy tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình là:

$- \left( {x - 4} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 6 = 0.$

Đường tròn tâm $I\left( {1;3} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x + 4y = 0$

$\Leftrightarrow R = d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.1 + 4.3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{{15}}{5} = 3$

Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$ $\Rightarrow \Delta  \bot OM$

$\Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {1;1} \right)$ là một VTPT của $\Delta$

$\Rightarrow$ Phương trình $\Delta :\,\,1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0$

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;0} \right)$

Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến cần tìm

$\Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( {3;4} \right)$ là một VTPT của $\Delta$

$\Rightarrow \Delta :3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 25 = 0$

Đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x + 12 = 0$ có tâm $I\left( {4;0} \right)$ và bán kính $R = 2$.

Gọi $\left( {C'} \right)$ là đường tròn tâm $M$ bán kính $MA$ thì $A,B$ là các giao điểm của hai đường tròn $\left( C \right)$ và $\left( {C'} \right)$.

Điểm $M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;m} \right)$. Khi đó $MI = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - m} \right)}^2}}  = \sqrt {{m^2} + 16}$.

Tam giác $MIA$ vuông tại $A$ $\Leftrightarrow M{A^2} + I{A^2} = M{I^2}$ $\Leftrightarrow M{A^2} + 4 = {m^2} + 16$ $\Leftrightarrow M{A^2} = {m^2} + 12$.

Đường tròn $\left( {C'} \right)$ tâm $M\left( {0;m} \right)$ bán kính $MA = \sqrt {{m^2} + 12}$ có phương trình:

${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - m} \right)^2} = {m^2} + 12$ $\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2my - 12 = 0$.

Do $\left\{ {A,B} \right\} = \left( C \right) \cap \left( {C'} \right)$ nên tọa độ của $A,B$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 8x + 12 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} - 2my - 12 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Lấy $\left( 1 \right) - \left( 2 \right)$ ta được: $- 8x + 2my + 24 = 0$ hay phương trình $AB: - 8x + 2my + 24 = 0$.

Do $K\left( {4;1} \right) \in AB$ nên $- 8.4 + 2m.1 + 24 = 0$ $\Leftrightarrow m = 4$.

Vậy $M\left( {0;4} \right)$ hay $a = 0,b = 4$ $\Rightarrow T = {0^2} + {4^2} = 16$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {1; - 2} \right)$

Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại  A$\Rightarrow OA \bot \Delta$

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( { - 3;4} \right)$ là một VTPT của $\Delta$

 Phương trình $\Delta$: $- 3\left( {x + 2} \right) + 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 14 = 0.$ 

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;0} \right)$ bán kính $R = \sqrt {0 + 0 + 16}  = 4$

Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$$\Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = R$

$\Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4 \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 20\\m - 1 =  - 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 21\\m =  - 19\end{array} \right.$