Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x + 12 = 0\) và điểm \(K\left( {4;1} \right)\). Gọi điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc trục \(Oy\) sao cho từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại các tiếp điểm \(A,B\) mà \(AB\) đi qua \(K\). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}\) là:

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 8x + 12 = 0\) có tâm \(I\left( {4;0} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Gọi \(\left( {C'} \right)\) là đường tròn tâm \(M\) bán kính \(MA\) thì \(A,B\) là các giao điểm của hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\).

Điểm \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;m} \right)\). Khi đó \(MI = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - m} \right)}^2}}  = \sqrt {{m^2} + 16} \).

Tam giác \(MIA\) vuông tại \(A\) \( \Leftrightarrow M{A^2} + I{A^2} = M{I^2}\) \( \Leftrightarrow M{A^2} + 4 = {m^2} + 16\) \( \Leftrightarrow M{A^2} = {m^2} + 12\).

Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(M\left( {0;m} \right)\) bán kính \(MA = \sqrt {{m^2} + 12} \) có phương trình:

\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - m} \right)^2} = {m^2} + 12\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2my - 12 = 0\).

Do \(\left\{ {A,B} \right\} = \left( C \right) \cap \left( {C'} \right)\) nên tọa độ của \(A,B\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 8x + 12 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} + {y^2} - 2my - 12 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) ta được: \( - 8x + 2my + 24 = 0\) hay phương trình \(AB: - 8x + 2my + 24 = 0\).

Do \(K\left( {4;1} \right) \in AB\) nên \( - 8.4 + 2m.1 + 24 = 0\) \( \Leftrightarrow m = 4\).

Vậy \(M\left( {0;4} \right)\) hay \(a = 0,b = 4\) \( \Rightarrow T = {0^2} + {4^2} = 16\).