Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn hai đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\rm{ }}{y^2}-2x-2y + 1 = 0,\,\)\((C'):{x^2} + {\rm{ }}{y^2} + 4x-5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) cùng đi qua \(M\left( {1;0} \right)\). Viết phương trình đường thẳng\(d\) qua \(M\) cắt hai đường tròn \(\left( C \right),\;\left( {C'} \right)\)lần lượt tại \(A\), \(B\) sao cho \(MA = 2MB\).

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(M\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = bt\end{array} \right.\)

- Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):{I_1}\left( {1;1} \right),{R_1} = 1\;.\;\left( {{C_2}} \right):\;{I_2}\left( { - 2;0} \right),{R_2} = 3\) , suy ra :

\(\left( {{C_1}} \right):\;{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1,\;\left( {{C_2}} \right):\;{\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 9\)

- Nếu d cắt  \(\left( {{C_1}} \right)\) tại \(A\): \( \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} - 2bt = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \to M\\t = \dfrac{{2b}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1 + \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}};\dfrac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

- Nếu d cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại \(B\): \( \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right){t^2} + 6at = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \to M\\t =  - \dfrac{{6a}}{{{a^2} + {b^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {1 - \dfrac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}; - \dfrac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)\)

- Theo giả thiết: \(MA = 2MB\)\( \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\left( * \right)\)

- Ta có : \({\left( {\dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{2{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {\dfrac{{6{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{6ab}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)}^2}} \right]\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 4.\dfrac{{36{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} \Leftrightarrow {b^2} = 36{a^2}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 6a \to d:6x + y - 6 = 0\\b = 6a \to d:6x - y - 6 = 0\end{array} \right.\)