Biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ

Ta có: \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = x\left( {3; - 1} \right) + y\left( {5; - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = \left( {3x; - x} \right) + \left( {5y; - 4y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 3x + 5y\\ - 5 =  - x - 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow x + y =  - 3 + 2 =  - 1.\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow u  = \left( {2; - 4} \right)\\\,\,\,\overrightarrow v  = \left( { - 2;2} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {0; - 2} \right)\end{array}\)

Gọi M (a; b).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( {4 - a;\,\,3 - b} \right)\\\overrightarrow {MB}  = \left( { - a; - 1 - b} \right)\\\overrightarrow {MC}  = \left( {1 - a; - 2 - b} \right)\end{array} \right. \Rightarrow  - 2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  - 3\overrightarrow {MC}  = \left( {1;\,\,7} \right)\\ \Leftrightarrow  - 2\left( {4 - a;\,\,3 - b} \right) + 3\left( { - a; - 1 - b} \right) - 3\left( {1 - a; - 2 - b} \right) = \left( {1;\,\,7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {4 - a} \right) + 3\left( { - a} \right) - 3\left( {1 - a} \right) = 1\\ - 2\left( {3 - b} \right) + 3\left( { - 1 - b} \right) - 3\left( { - 2 - b} \right) = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8 + 2a - 3a - 3 + 3a = 1\\ - 6 + 2b - 3 - 3b + 6 + 3b = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 12\\2b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6;\,\,5} \right).\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {2m + 1;\,\, - \dfrac{4}{3}} \right)\end{array} \right..\)

Ba điểm  A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right)\) 

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( {5 - 10;2 - 8} \right) = \left( { - 5; - 6} \right)\).

Véc tơ đối của véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( { - 5;1} \right)\) là \( - \overrightarrow u  = \left( {5; - 1} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow a  = \dfrac{5}{4}\overrightarrow b \) \( \Rightarrow \overrightarrow a ,{\rm{ }}\overrightarrow b \) cùng hướng.

Ta có: \(\overrightarrow {AD} \left( { - 2;10} \right),\,\overrightarrow {AB} \left( { - 1;5} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AB}  \Rightarrow \) 3 điểm \(A,B,D\) thẳng hàng.

Từ giả thiết, suy ra \({M_1} = \left( {3;0} \right),{M_2} = \left( {0; - 4} \right).\) A Sai vì \(\overline {O{M_1}} = 3.\) B. Sai vì \(\overline {O{M_2}}  =  - 4.\) C Sai vì \(\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} = \overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = \left( {3;4} \right).\)

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - x;2 - y} \right)\) ;

\(\overrightarrow {IB}  = \left( { - 2 - x;3 - y} \right)\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow {IB}  = \left( { - 4 - 2x;6 - 2y} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \left( { - 3 - 3x;8 - 3y} \right).\)

Do đó từ giả thiết \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - 3x = 0\\8 - 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 2} \right),\overrightarrow {DC}  = \left( {0; - 2} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow ABCD\) là hình bình hành.

Khi đó tọa độ trung điểm của \(AC\) là \(\left( {0; - 1} \right)\) và cũng là tọa độ trung điểm của \(BD.\)

Gọi \(C\left( {x;y} \right).\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right)\\\overrightarrow {DC}  = \left( {x - 5;y - 5} \right)\end{array} \right..\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = x - 5\\4 = y - 5\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {7;9} \right)\)

Gọi \(A\left( {x;y} \right)\).

     Từ giả thiết, ta suy ra \(\overrightarrow {PA}  = \overrightarrow {MN} .\) \(\left( * \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {PA}  = \left( {x + 1;y - 6} \right)\) và \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 2; - 7} \right).\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 =  - 2\\y - 6 =  - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3; - 1} \right)\)

Ta có \(\left. \begin{array}{l}k.\vec a = \left( {2k;k} \right)\\h.\vec b = \left( {3h;4h} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow k.\vec a + h.\vec b = \left( {2k + 3h;k + 4h} \right)\)

Theo đề bài: \(\vec c = k.\vec a + h.\vec b\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 = 2k + 3h\\2 = k + 4h\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 4,4\\h =  - 0,6\end{array} \right.\) \( \Rightarrow k - h = 5\)

Hai vectơ \(\overrightarrow a ,{\rm{ }}\overrightarrow b \) cùng phương \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 = k.4\\0 = k.x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - \dfrac{5}{4}\\x = 0\end{array} \right.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow a  = \left( {2x;4} \right)\\3\overrightarrow b  = \left( { - 15;3} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  = \left( {2x - 15;7} \right)\)

Để \(\overrightarrow c  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 15\\7 = 7\end{array} \right. \Rightarrow x = 15\)

Gọi D(a; b). Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1;\,\,6} \right) = \left( { - 1 - a;\,\,5 - b} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - a = 1\\5 - b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 2; - 1} \right).\end{array}\)

Ta có: $\overrightarrow u \, = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {v_1}\\{u_2} = {v_2}\end{array} \right.$.

Theo công thức tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {10 - 5;8 - 2} \right) = \left( {5;6} \right)$.