Tổng hợp câu hay và khó chương 3 - Phần 1

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ge  - 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x \ge 2$ $\Rightarrow D = \left[ {2; + \infty } \right)$.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4\sqrt {x - 2}  + {m^2}\sqrt {x + 2}  = 5\sqrt[4]{{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {x - 2}  + {m^2}\sqrt {x + 2}  = 5\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\end{array}$

TH1: $x = 2$, phương trình trở thành: $2{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = 0$.

Thử lại với $m = 0$ ta có:

$\begin{array}{l}4\sqrt {x - 2}  = 5\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \sqrt[4]{{x - 2}}\left( {4\sqrt[4]{{x - 2}} - 5\sqrt[4]{{x + 2}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\4\sqrt[4]{{x - 2}} - 5\sqrt[4]{{x + 2}} = 0\end{array} \right.\end{array}$

Do đó phương trình có nghiệm $x = 2$, suy ra $m = 0$ thỏa mãn.

TH2: $x \ne 2$, chia cả 2 vế của phương trình cho $\sqrt[4]{{x - 2}}\sqrt[4]{{x + 2}}$ ta được: $4\dfrac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} + {m^2}\dfrac{{\sqrt[4]{{x + 2}}}}{{\sqrt[4]{{x - 2}}}} = 5$

Đặt $\dfrac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} = t\,\,\left( {0 < t < 1} \right)$, phương trình trở thành $4t + \dfrac{{{m^2}}}{t} = 5$$\Leftrightarrow 4{t^2} - 5t + {m^2} = 0$ (*)

Phương trình (*) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta  = 25 - 16{m^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{5}{4} \le m \le \dfrac{5}{4}$.

Mà $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$.

Thử lại:

Với $m =  \pm 1$ ta có: $4{t^2} - 4t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt[4]{{x - 2}}}}{{\sqrt[4]{{x + 2}}}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt[4]{{x - 2}} = \sqrt[4]{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow 16\left( {x - 2} \right) = x + 2\\ \Leftrightarrow 16x - 32 = x + 2\\ \Leftrightarrow 15x = 34\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{34}}{{15}}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

$\Rightarrow m =  \pm 1$ thỏa mãn.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$. 

ĐKXĐ: $- 3 \le x \le 6$.

Đặt $t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow {t^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}\end{array}$

Do $\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 3\\t \le  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge 3$ (do $t \ge 0$).

Lại có $\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right) =  - {x^2} + 3x + 18 \le \dfrac{{81}}{4}\,\,\forall x$ nên $\dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \le \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow t \le 3\sqrt 2$.

$\Rightarrow 3 \le t \le 3\sqrt 2$.

Khi đó phương trình trở thành

$t - \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2m - 9 = 0\,\,\left( * \right)$

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn (1).

Ta có $\Delta ' = 1 - 2m + 9 = 10 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5$.

Khi đó phương trình (*) có nghiệm $\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1 + \sqrt {10 - 2m} \\{t_2} = 1 - \sqrt {10 - 2m} \end{array} \right.$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3 \le 1 + \sqrt {10 - 2m}  \le 3\sqrt 2 \\3 \le 1 - \sqrt {10 - 2m}  \le 3\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 \le \sqrt {10 - 2m}  \le 3\sqrt 2  - 1\\1 - 3\sqrt 2  \le \sqrt {10 - 2m}  \le  - 2\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4 \le 10 - 2m \le 19 - 6\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 6\sqrt 2  - 9 \le 2m \le 6\\ \Leftrightarrow 3\sqrt 2  - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\end{array}$

Kết hợp điều kiện ta có $3\sqrt 2  - \dfrac{9}{2} \le m \le 3$.

ĐKXĐ: $x - m \ge 0 \Leftrightarrow x \ge m$.

Ta có:

$\begin{array}{l}2x - 4 = 3\sqrt {x - m} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\4{\left( {x - 2} \right)^2} = 9\left( {x - m} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\4{x^2} - 16x + 16 = 9x - 9m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\4{x^2} - 25x + 9m + 16 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm $x \ge 2$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  = {25^2} - 4.4\left( {9m + 16} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 369 - 144m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{41}}{{16}}\end{array}$

Khi đó phương trình có 2 nghiệm $x = \dfrac{{25 \pm \sqrt {369 - 144m} }}{8}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{25 + \sqrt {369 - 144m} }}{8} \ge 2\\\dfrac{{25 - \sqrt {369 - 144m} }}{8} \ge 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {369 - 144m}  \ge  - 9\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\sqrt {369 - 144m}  \le 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 0 \le 369 - 144m \le 81\\ \Leftrightarrow 2 \le m \le \dfrac{{41}}{{16}}\end{array}$

Kết hợp điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \ge m\end{array} \right.$ ta thấy $2 \le m \le \dfrac{{41}}{{16}}$ thỏa mãn.

Vậy $2 \le m \le \dfrac{{41}}{{16}}$.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9 - x \ge 0\\ - {x^2} + 9x + m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\ - {x^2} + 9x + m \ge 0\end{array} \right.$.

Xét $- {x^2} + 9x + m \ge 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 9x \ge  - m$.

Ta có $- {x^2} + 9x =  - \left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{9}{2} + \dfrac{{81}}{4}} \right) + \dfrac{{81}}{4} =  - {\left( {x - \dfrac{9}{2}} \right)^2} + \dfrac{{81}}{4} \le \dfrac{{81}}{4}$

$\Rightarrow  - {x^2} + 9x \ge  - m$ có nghiệm khi và chỉ khi $- m \le \dfrac{{81}}{4} \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{{81}}{4}\,\,\left( 1 \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt x  + \sqrt {9 - x}  = \sqrt { - {x^2} + 9x + m} \\ \Rightarrow {\left( {\sqrt x  + \sqrt {9 - x} } \right)^2} =  - {x^2} + 9x + m\\ \Leftrightarrow x + 9 - x + 2\sqrt { - {x^2} + 9x}  =  - {x^2} + 9x + m\\ \Leftrightarrow 2\sqrt { - {x^2} + 9x}  + 9 =  - {x^2} + 9x + m\\ \Leftrightarrow \left( { - {x^2} + 9x} \right) - 2\sqrt { - {x^2} + 9x}  + m - 9 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}$

Đặt $t = \sqrt { - {x^2} + 9x}$ $\Rightarrow 0 \le t \le \sqrt {\dfrac{{81}}{4}}  \Rightarrow 0 \le t \le \dfrac{9}{2}$.

Khi đó phương trình (*) trở thành ${t^2} - 2t + m - 9 = 0$ có nghiệm $t \in \left[ {0;\dfrac{9}{2}} \right]$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\0 \le {t_1} + {t_2} \le 9\\{t_1}{t_2} \ge 0\\\left( {{t_1} - \dfrac{9}{2}} \right)\left( {{t_2} - \dfrac{9}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m + 9 \ge 0\\0 \le 2 \le 9\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m - 9 \ge 0\\m - 9 - \dfrac{9}{2}.2 + \dfrac{{81}}{4} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 10\\m \ge 9\\m \ge  - \dfrac{9}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow 9 \le m \le 10\end{array}$

Kết hợp điều kiện (1) ta có $m \in \left[ {9;10} \right]$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + mx + 2}  = 2x + 1\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{2}\\{x^2} + mx + 2 = 4{x^2} + 4x + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \dfrac{1}{2}\\3{x^2} - \left( {m - 4} \right)x - 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}$

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt ${x_1} > {x_2} \ge  - \dfrac{1}{2}$.

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{x_1} + {x_2} >  - 1\\\left( {{x_1} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} + \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 4} \right)^2} + 12 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\dfrac{{m - 4}}{3} >  - 1\\ - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{m - 4}}{3} + \dfrac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 4 >  - 3\\\dfrac{{m - 4}}{6} \ge \dfrac{1}{{12}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m - 4 \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{9}{2}\end{array}$

Vậy $m \ge \dfrac{9}{2}$.

PT: $\left| {{x^2} - 4} \right|x\left| { - 5} \right| - m = 0 \Leftrightarrow \left| {{x^2} - 4} \right|x\left| { - 5} \right| = m\left( 1 \right)$

Số nghiệm phương trình $\left( 1 \right)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|\,\left( P \right)$ và đường thẳng $y = m$ (cùng phương $Ox$)

Xét hàm số $y = {x^2} - 4x - 5\,\,\left( {{P_1}} \right)$ có đồ thị như hình 1.

Xét hàm số $y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5\,\,\left( {{P_2}} \right)$ là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng.

Mà $y = {x^2} - 4\left| x \right| - 5 = {x^2} - 4x - 5$ nếu $x \ge 0$.

Suy ra đồ thị hàm số $\left( {{P_2}} \right)$ gồm hai phần:

Phần $1$: Giữ nguyên đồ thị hàm số $\left( {{P_1}} \right)$ phần bên phải $Oy$.

Phần $2$: Lấy đối xứng phần $1$ qua trục $Oy$.

Ta được đồ thị $\left( {{P_2}} \right)$ như hình 2.

Xét hàm số $y = \left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right|\,\left( P \right)$, ta có: $y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4\left| x \right| - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {y \ge 0} \right)\\ - \left( {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right)\,\,\left( {y < 0} \right)\end{array} \right.$.

Suy ra đồ thị hàm số $\left( P \right)$ gồm hai phần:

Phần $1$: Giữ nguyên đồ thị hàm số $\left( {{P_2}} \right)$ phần trên $Ox$.

Phần $2$: Lấy đối xứng đồ thị hàm số $\left( {{P_2}} \right)$ phần dưới $Ox$ qua trục $Ox$.

Ta được đồ thị $\left( P \right)$ như hình 3.

Quan sát đồ thị hàm số $\left( P \right)$ ta có:

Phương trình $\left| {{x^2} - 4\left| x \right| - 5} \right| - m = 0$ (1) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 9\\m = 0\end{array} \right.$.

Mà $\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ {0;\,2017} \right]\end{array} \right.$$\Rightarrow m \in \left\{ {0;10;\,11;\,12;\,...;\,2017} \right\}$

Vậy có $2009$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Phương trình ${x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0$ có hai nghiệm ${x_1}$, ${x_2}$ là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác với cạnh huyền có độ bài bằng $2$ khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {m^2} - 4{m^2} + 12 \ge 0\\S = {x_1} + {x_2} = m > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\\x_1^2 + x_2^2 = 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < {m^2} \le 4\\m > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  < m \le 2\\{m^2} - 2\left( {{m^2} - 3} \right) = 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  < m \le 2\\{m^2} = 2\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow m \in \emptyset$

Ta có $\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) - 1 = 0$ (1)

Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t$, $\left| t \right| \ge 2$ ta được ${t^2} - 2mt - 1 = 0$ (2).

Phương trình (2) luôn có hai nghiệm ${t_1} < 0 < {t_2}$ (do $a.c =  - 1 < 0$ )$\Rightarrow$ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có ít nhất một nghiệm $t$ sao cho $\left| t \right| \ge 2$, hay ít nhất một trong hai số $2;\,\, - 2$ phải nằm giữa hai nghiệm ${t_1},\,\,{t_2};$ hay $\left[ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) \le 0\\f\left( { - 2} \right) \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 - 4m \le 0\\3 + 4m \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{3}{4}\\m \le  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right.$.

Ta có: ${x^2} - 4x + 6 + 3m = 0$ $\Leftrightarrow 3m =  - {x^2} + 4x - 6$.

Số nghiệm của phương trình ${x^2} - 4x + 6 + 3m = 0$ là số giao điểm của đường thẳng $y = 3m$ và parabol $y =  - {x^2} + 4x - 6$.

Parabol $y =  - {x^2} + 4x - 6$ có hoành độ đỉnh $x=2\in \left[ { - 1;3} \right]$, hệ số $a=-1<0$ nên đồng biến khi $x<2$ và nghịch biến khi $x>2$.

Bảng biến thiên của hàm số $y =  - {x^2} + 4x - 6$ trên đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$:

Từ bảng biến thiên ta thấy, nếu phương trình có nghiệm trên đoạn $[-1;3]$ thì đường thẳng $y=3m$ phải cắt parabol tại ít nhất $1$ điểm có hoành độ thuộc đoạn $[-1;3]$.

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - 1;3} \right]$$\Leftrightarrow  - 11 \le 3m \le  - 2$$\Leftrightarrow  - \dfrac{{11}}{3} \le m \le  - \dfrac{2}{3}$.

$m = \left| {{x^2} - 6x - 7} \right|$ là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = m$ và đồ thị $\left( C \right):\,\,y = \left| {{x^2} - 6x - 7} \right|$.

Vẽ $\left( P \right):\,\,y = {x^2} - 6x - 7$, lấy đối xứng phần phía dưới $Ox$ của $\left( P \right)$ lên trên $Ox$ và xóa đi phần phía dưới $Ox$ (vì $y = \left| {{x^2} - 6x - 7} \right| \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$), ta được đồ thị $\left( C \right)$.

Dựa vào đồ thị: phương trình $m = \left| {{x^2} - 6x - 7} \right|$ có 4 nghiệm phân biệt khi $m \in \left( {0;16} \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y{\rm{ }}\,\left( 1 \right)\\{y^2} = 3y - x\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ theo vế ta được: ${x^2} - {y^2} = 4x - 4y$$\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 4} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = x\\y = 4 - x\end{array} \right.$.

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\,\\y = x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\,\\y = x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = 2\end{array} \right.$.

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 3x - y\,\\y = 4 - x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 = 0\,\\y = 4 - x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = y = 2$.

Vậy hệ có hai nghiệm.

Đặt $t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}$

Điều kiện $t = \sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}  \ge \sqrt {x + 2 + 2 - x}  = 2 \Rightarrow t \ge 2$

Lại có $\sqrt {x + 2}  + \sqrt {2 - x}  \le \sqrt {{1^2} + {1^2}} .\sqrt {x + 2 + 2 - x}  = 2\sqrt 2$ $\Rightarrow t \le 2\sqrt 2$

Suy ra $2 \le t \le 2\sqrt 2$

Ta có: ${t^2} = 4 + 2\sqrt {4 - {x^2}}$$\Rightarrow 2\sqrt {4 - {x^2}}  = {t^2} - 4$

Phương trình trở thành: $t + {t^2} - 4 - 2m + 3 = 0$$\Leftrightarrow {t^2} + t - 2m - 1 = 0$$\Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 2m\,\,\,(*)$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} + t - 1$ (parabol có hoành độ đỉnh $x =  - \dfrac{1}{2} \notin \left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$) trên $\left[ {2;2\sqrt 2 } \right]$, có bảng biến thiên

Phương trình $(*)$ có nghiệm thỏa $2 \le t \le 2\sqrt 2$ khi $5 \le 2m \le 7 + 2\sqrt 2$$\Rightarrow \dfrac{5}{2} \le m \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 2 }}{2}$

$\dfrac{5}{2} \le m \le \dfrac{{7 + 2\sqrt 2 }}{2}\,$$\to \left( {2,5 \le m \le 4,91} \right)$

Vậy có 2 giá trị $m$ nguyên dương là $m = 3$, $m = 4$.

Phương trình có $2$ nghiệm ${x_1}$, ${x_2}$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} = \dfrac{{13}}{4}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  \ge 0\\ - \dfrac{b}{a} = \dfrac{{13}}{4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\{\left( {{m^2} - 3} \right)^2} - 4{m^2} \ge 0\\ - \dfrac{{{m^2} - 3}}{m} = \dfrac{{13}}{4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {{m^2} - 3 - 2m} \right)\left( {{m^2} - 3 + 2m} \right) \ge 0\\4{m^2} + 13m - 12 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right)\left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) \ge 0\\m = \dfrac{3}{4};m =  - 4\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\\m = \dfrac{3}{4};m =  - 4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{4}\\m =  - 4\end{array} \right.$.

Vậy tổng bình phương các giá trị của $m$ là $\dfrac{{265}}{{16}}$.

Ta có: $|a - b| = 3$ $\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)$.

Khi viết ngược lại ta có:$10b + a = \dfrac{4}{5}\left( {10a + b} \right) - 10$$\Leftrightarrow 35a - 46b = 50$.

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\35a - 46b = 50\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 5\end{array} \right.$.

Hoặc $\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 3\\35a - 46b = 50\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{{188}}{{11}}\\b =  - \dfrac{{155}}{{11}}\end{array} \right.$ (loại).

Với $a = 8$, $b = 5$, ${a^2} + {b^2} = 89$.

Điều kiện xác định $x \in \mathbb{R}$.

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 1}$, $t \ge 1$.

Phương trình trở thành ${t^2} - 1 - 4t - m + 1 = 0$$\Leftrightarrow {t^2} - 4t = m$. $\left( 2 \right)$

Để phương trình có $4$ nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$.

Xét hàm số $f\left( t \right) = {t^2} - 4t$ có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh $x = 2 \in \left( {1; + \infty } \right)$ nên ta có bảng biến thiên:

Dựa BBT ta thấy để $(2)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $1$ thì $- 4 < m <  - 3$.

Vậy không có giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Để phương trình ${x^2} - 2mx + m + 2 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - m} \right)^2} - 1.\left( {m + 2} \right) > 0\\2m > 0\\m + 2 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\m > 0\\m >  - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 1,m > 2\\m > 0\\m >  - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m > 2$.

Vậy: $m > 2$.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 7x \ge 0\\3x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\;\left( * \right)$

Với điều kiện trên, phương trình tương đương

$\left[ {\left( {2x + 1} \right) - \sqrt {3{x^2} + 7x} } \right] + \left[ {x - \sqrt {3x - 1} } \right] = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x + 1}}{{\left( {2x + 1} \right) + \sqrt {3{x^2} + 7x} }} + \dfrac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x + \sqrt {3x - 1} }} = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{{2x + 1 + \sqrt {3{x^2} + 7x} }} + \dfrac{1}{{x + \sqrt {3x - 1} }}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0$ (do $\left( * \right)$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{2x + 1 + \sqrt {3{x^2} + 7x} }} + \dfrac{1}{{x + \sqrt {3x - 1} }} > 0$)

$\Leftrightarrow x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$ hoặc  $x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$

Theo yêu cầu đề bài ta chọn nghiệm $x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$

Vậy $a = 3$, $b = 5$, $c = 2$ $\Rightarrow S = a + b + c = 10$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x + y} \right)^2} - 5\left( {4{x^2} - {y^2}} \right) + 6\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2}} \right) = 0  \left( 1 \right)\\2x + y + \dfrac{1}{{2x - y}} = 3   \left( 2 \right)\end{array} \right.$.

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 8{x^2} + 12{y^2} - 20xy = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2x - 3y} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\2x = 3y\end{array} \right.$.

Với $x = y$ ta có $\left( 2 \right) \Rightarrow 3x + \dfrac{1}{x} = 3$ $\Leftrightarrow 3{x^2} - 3x + 1 = 0$: phương trình vô nghiệm.

Với $2x = 3y$ ta có $\left( 2 \right) \Rightarrow 4y + \dfrac{1}{{2y}} = 3$ $\Leftrightarrow 8{y^2} - 6y + 1 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$.

Với $y = \dfrac{1}{4}$ $\Rightarrow x = \dfrac{3}{8}\left( {KTM} \right)$.

Với $y = \dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow x = \dfrac{3}{4}\left( {TM} \right)$$\Rightarrow P = 1$.

Phương trình đường thẳng $d:y = kx - 3$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$: $- {x^2} + 4x - 3 = kx - 3$ $\Leftrightarrow  - {x^2} + \left( {4 - k} \right)x = 0$ $\Leftrightarrow x\left( { - x + 4 - k} \right) = 0$ $\,\left( 1 \right)$

$d$ cắt đồ thị $\left( P \right)$ tại $2$ điểm phân biệt khi $\,\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow 4 - k \ne 0$$\Leftrightarrow k \ne 4$.

Ta có $E\left( {{x_1};\,k{x_1} - 3} \right)$, $F\left( {{x_2};\,k{x_2} - 3} \right)$ với ${x_1}$, ${x_2}$ là nghiệm phương trình $\left( 1 \right)$

$\Delta OEF$ vuông tại $O$$\Rightarrow \overrightarrow {OE} .\overrightarrow {OF}  = 0$$\Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + \left( {k{x_1} - 3} \right)\left( {k{x_2} - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow {x_1}.{x_2}\left( {1 + {k^2}} \right) - 3k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 = 0$$\Leftrightarrow 0.\left( {1 + {k^2}} \right) - 3k\left( {4 - k} \right) + 9 = 0$

$\Leftrightarrow {k^2} - 4k + 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 3\end{array} \right.$

Phương trình đã cho tương đương: $2\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = {x^2} - 5x + a$, $\left( 1 \right)$.

Đặt $t = {x^2} - 5x + a$.

Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành: $2\left| {t + 4 - a} \right| = t$, $\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}t = 2a - 8\\t = \dfrac{{2a - 8}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.$, để phương trình $\left( 1 \right)$ có $4$ nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là $\left( 2 \right)$ phải có $2$ nghiệm phân biệt, tức là $2a - 8 > 0$$\Leftrightarrow a > 4$, $\left(  *  \right)$.

Khi đó, thay lại ta có: $\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + a = 2a - 8\\3{x^2} - 15x + 3a = 2a - 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\3{x^2} - 15x + a + 8 = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$.

Điều kiện để $\left( 1 \right)$ có $4$ nghiệm phân biệt là mỗi phương trình bậc $2$ ở trên có $2$ nghiệm phân biệt và hai nghiệm của $\left( 3 \right)$ không thỏa mãn $\left( 4 \right)$

Mỗi phương trình $\left( 3 \right),\left( 4 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = 25 - 4\left( {8 - a} \right) > 0\\{\Delta _2} = {15^2} - 4.3.\left( {a + 8} \right) > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > \dfrac{7}{4}\\a < \dfrac{{43}}{4}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \dfrac{7}{4} < a < \dfrac{{43}}{4}$.

Nếu $x$ là nghiệm của $\left( 3 \right)$ thì không thỏa mãn $\left( 4 \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\\3{x^2} - 15x + a + 8 \ne 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\\3\left( {{x^2} - 5x + 8 - a} \right) - 16 + 4a \ne 0\end{array} \right.$$\Rightarrow 4a - 16 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 4$  

So với điều kiện $\left(  *  \right)$, suy ra $4 < a < \dfrac{{43}}{4}$.