Để phương trình sau có \(4\) nghiệm phân biệt: \(\left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| = {x^2} - 5x + a\). Giá trị của tham số \(a\) là

Phương trình đã cho tương đương: \(2\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = {x^2} - 5x + a\), \(\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = {x^2} - 5x + a\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(2\left| {t + 4 - a} \right| = t\), \(\left( 2 \right)\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}t = 2a - 8\\t = \dfrac{{2a - 8}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\), để phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là \(\left( 2 \right)\) phải có \(2\) nghiệm phân biệt, tức là \(2a - 8 > 0\)\( \Leftrightarrow a > 4\), \(\left(  *  \right)\).

Khi đó, thay lại ta có: \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + a = 2a - 8\\3{x^2} - 15x + 3a = 2a - 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\3{x^2} - 15x + a + 8 = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\).

Điều kiện để \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt là mỗi phương trình bậc \(2\) ở trên có \(2\) nghiệm phân biệt và hai nghiệm của \(\left( 3 \right)\) không thỏa mãn \(\left( 4 \right)\)

Mỗi phương trình \(\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} = 25 - 4\left( {8 - a} \right) > 0\\{\Delta _2} = {15^2} - 4.3.\left( {a + 8} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > \dfrac{7}{4}\\a < \dfrac{{43}}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \dfrac{7}{4} < a < \dfrac{{43}}{4}\).

Nếu \(x\) là nghiệm của \(\left( 3 \right)\) thì không thỏa mãn \(\left( 4 \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\\3{x^2} - 15x + a + 8 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 8 - a = 0\\3\left( {{x^2} - 5x + 8 - a} \right) - 16 + 4a \ne 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 4a - 16 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 4\)  

So với điều kiện \(\left(  *  \right)\), suy ra \(4 < a < \dfrac{{43}}{4}\).