Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x}  - \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = m\).

ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le 6\).

Đặt \(t = \sqrt {3 + x}  + \sqrt {6 - x} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow {t^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  = \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}\end{array}\)

Do \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)}  \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 3\\t \le  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge 3\) (do \(t \ge 0\)).

Lại có \(\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right) =  - {x^2} + 3x + 18 \le \dfrac{{81}}{4}\,\,\forall x\) nên \(\dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \le \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow t \le 3\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow 3 \le t \le 3\sqrt 2 \).

Khi đó phương trình trở thành

\(t - \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2m - 9 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn (1).

Ta có \(\Delta ' = 1 - 2m + 9 = 10 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\).

Khi đó phương trình (*) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1 + \sqrt {10 - 2m} \\{t_2} = 1 - \sqrt {10 - 2m} \end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3 \le 1 + \sqrt {10 - 2m}  \le 3\sqrt 2 \\3 \le 1 - \sqrt {10 - 2m}  \le 3\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 \le \sqrt {10 - 2m}  \le 3\sqrt 2  - 1\\1 - 3\sqrt 2  \le \sqrt {10 - 2m}  \le  - 2\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4 \le 10 - 2m \le 19 - 6\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 6\sqrt 2  - 9 \le 2m \le 6\\ \Leftrightarrow 3\sqrt 2  - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(3\sqrt 2  - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\).