Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng \(2\) là

Phương trình \({x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác với cạnh huyền có độ bài bằng \(2\) khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {m^2} - 4{m^2} + 12 \ge 0\\S = {x_1} + {x_2} = m > 0\\P = {x_1}.{x_2} > 0\\x_1^2 + x_2^2 = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 < {m^2} \le 4\\m > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  < m \le 2\\{m^2} - 2\left( {{m^2} - 3} \right) = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3  < m \le 2\\{m^2} = 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \in \emptyset \)